Открыть главное меню

Определителем Грама (грамианом) системы векторов в евклидовом пространстве называется определитель матрицы Грама этой системы:

где  — скалярное произведение векторов и .

Матрица Грама возникает из следующей задачи линейной алгебры:

Пусть в евклидовом пространстве система векторов порождает подпространство . Зная, чему равны скалярные произведения вектора из с каждым из этих векторов, найти коэффициенты разложения вектора по векторам .

Исходя из разложения

получается линейная система уравнений с матрицей Грама:

Эта задача однозначно разрешима тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы. Поэтому обращение в ноль определителя Грама системы векторов — это критерий их линейной зависимости.

Геометрический смысл определителя ГрамаПравить

Геометрический смысл определителя Грама раскрывается при решении следующей задачи:

Пусть в евклидовом пространстве   система векторов   порождает подпространство  . Зная скалярные произведения вектора   из   с каждым из этих векторов, найти расстояние от   до  .

Минимум расстояний   по всем векторам   из   достигается на ортогональной проекции вектора   на  . При этом  , где вектор   перпендикулярен всем векторам из  , и расстояние от   до   равно модулю вектора  . Для вектора   решается задача о разложении (см. выше) по векторам  , и решение получившейся системы выписывается по правилу Крамера:

 

где   — определитель Грама системы. Вектор   равен:

 

и квадрат его модуля равен

 

Из этой формулы индукцией по   получается следующее утверждение:

  • Определитель Грама системы   векторов равен квадрату объёма  -мерного параллелепипеда, натянутого на эти векторы. Отсюда видно, что в случае трёхмерного пространства определитель Грама трёх векторов равен квадрату их смешанного произведения.

См. такжеПравить