Стиль этой статьи неэнциклопедичен или нарушает нормы литературного русского языка. |
В линейной алгебре базис векторного пространства размерности [1] — это последовательность из векторов , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто есть необходимость работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода, или замены.
Определение
правитьЕсли векторы выражаются через векторы как:
- .
- .
- .
- .
то матрица перехода от базиса к базису ) будет:
Использование
правитьПри умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис .
Пример
правитьДля того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:
Матрицы наиболее распространённых преобразований | ||||
---|---|---|---|---|
В двумерных координатах | В однородных двумерных координатах | В однородных трёхмерных координатах | ||
Масштабирование
При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ: |
|
|
| |
Поворот
При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве |
По часовой стрелке |
|
Относительно OX на угол φ |
Относительно OY на угол ψ |
Против часовой стрелки |
Относительно OZ на угол χ | |||
Перемещение
При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ. |
В неоднородных координатах не имеет матричного представления. |
|
|
Свойства
править- Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
Пример поиска матрицы
правитьНайдём матрицу перехода от базиса к единичному базису путём элементарных преобразований
следовательно
См. также
правитьПримечания
править- ↑ David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald. Linear Algebra and Its Applications, Global Edition (англ.). — Pearson, 2021. — P. 247. — 755 p.
Ссылки
правитьВ статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |