Матрица перехода

В линейной алгебре базис векторного пространства размерности  — это последовательность из векторов , таких, что любой вектор пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов. При заданном базисе операторы представляются в виде квадратных матриц. Так как часто необходимо работать с несколькими базисами в одном и том же векторном пространстве, необходимо иметь правило перевода координат векторов и операторов из базиса в базис. Такой переход осуществляется с помощью матрицы перехода.

ОпределениеПравить

Если векторы   выражаются через векторы   как:

 .
 .
 .
 .

то матрица перехода от базиса   к базису  ) будет:

 

ИспользованиеПравить

При умножении матрицы, обратной к матрице перехода, на столбец, составленный из коэффициентов разложения вектора по базису  , мы получаем тот же вектор, выраженный через базис  .

ПримерПравить

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

 
Матрицы наиболее распространённых преобразований
В двумерных координатах В однородных двумерных координатах В однородных трёхмерных координатах
Масштабирование

При a, b и c — коэффициенты масштабирования соответственно по осям OX, OY и OZ:

 
 
 
Поворот

При φ — угол поворота изображения в двухмерном пространстве

По часовой стрелке

 
 

Относительно OX на угол φ

 

Относительно OY на угол ψ

 

Против часовой стрелки

 

Относительно OZ на угол χ

 
Перемещение

При a, b и c — смещение соответственно по осям OX, OY и OZ.

В неоднородных координатах не имеет матричного представления.

 
 

СвойстваПравить

  • Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю.
  •  

Пример поиска матрицыПравить

Найдём матрицу перехода от базиса   к единичному базису   путём элементарных преобразований

  следовательно  

См. такжеПравить

СсылкиПравить