Матрица сдвига

Ма́трица сдви́га (также сдви́говая ма́трица) — бинарная матрица с единицами только на главных наддиагонали или поддиагонали и нулями в остальных местах. Сдвиговая матрица U с единицами на наддиагонали называется верхне-сдвиговой матрицей. Соответствующая поддиагональная матрица L называется нижне-сдвиговой матрицей. Компоненты матриц U и L с индексами (i, j) имеют вид

где  — дельта-символ Кронекера.

Например, сдвиговая 5×5-матрица

Очевидно, при транспонировании нижне-сдвиговой матрицы получается верхне-сдвиговая матрица, и наоборот. Умножение слева произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу элементов матрицы A вниз на одну позицию, причём верхняя строчка результирующей матрицы заполняется нулями. Умножение справа произвольной матрицы A на нижне-сдвиговую матрицу приводит к сдвигу влево на одну позицию с заполнением нулями правого столбца. Аналогичные операции с участием верхне-сдвиговой матрицы приводят к противоположным сдвигам.

Все сдвиговые матрицы нильпотентны: сдвиговая n×n-матрица S в степени, равной её размерности n, равна нулевой матрице.

СвойстваПравить

Пусть L и U — n×n-матрицы сдвига, нижняя и верхняя, соответственно. Следующие свойства верны для обеих матриц U и L (поэтому приведём их только для U):

 


Следующие свойства показывают, как матрицы U и L связаны между собой:

  • LT = U; UT = L.
  • Ядра матриц U и L:
 
 
  • Спектр матриц U и L нулевой (т.е. они имеют единственное собственное значение, и оно равно нулю):  . Алгебраическая кратность этого нуля равна n, а его геометрическая кратность равна 1. Из выражений для ядер следует, что единственный (с точностью до масштабирования) собственный вектор матрицы U имеет вид   а единственный собственный вектор матрицы L имеет вид  
  • Для произведений LU и UL имеем:
 
 

Обе эти матрицы идемпотентны, симметричны и имеют то же ранг, что и U и L.

  • Ln − aUn − a + LaUa = Un − aLn − a + UaLa = I (единичная матрица), для любого целого a от 0 до n включительно.

ПримерыПравить

 


Тогда:  


Очевидно, существует много различных перестановок. Например, матрица   соответствует сдвигу матрицы A вверх и влево вдоль главной диагонали.


 

См. такжеПравить

СсылкиПравить

Shift Matrix — entry in the Matrix Reference Manual