Открыть главное меню

Матричная квантовая механика

(перенаправлено с «Матричная механика»)

Ма́тричная меха́ника — математический формализм квантовой механики, разработанный Вернером Гейзенбергом, Максом Борном и Паскуалем Иорданом в 1925 году. Матричная механика была первой независимой и последовательной квантовой теорией. Она развивает идеи теории Бора, в частности отвечает на вопрос, как происходят квантовые переходы. Основная идея матричной механики заключается в том, что физические величины, характеризующие частицу, описываются матрицами, изменяющимися во времени. Такой подход вполне эквивалентен волновой механике Эрвина Шрёдингера и является основой для бра-кет формализма Дирака для волновой функции.

Математический аппаратПравить

В матричной механике считается, что физическая система может находиться в одном из дискретного набора состояний n или в суперпозиции этих состояний, поэтому в целом состояние квантовомеханической системы задаётся вектором состояния — конечной или бесконечной совокупностью комплексных чисел

 ,

а каждой физической величине A, которую можно наблюдать в эксперименте, соответствует определённая матрица

 

Реальным физическим величинам соответствуют самосопряжённые матрицы, для которых

 .

Комплексные величины   задают амплитуду вероятности того, что квантовомеханическая система находится в состоянии n. Диагональные элементы матрицы A соответствуют значениям физической величины, когда она находится в определённом состоянии, а недиагональные элементы описывают вероятность переходов системы из одного состояния в другое.

Особое место занимает матрица энергии H.

Уравнение движенияПравить

Матрица, которая описывает физическую величину, удовлетворяет уравнению движения

 ,

где частная производная задаёт явную зависимость физической величины от времени, а квадратные скобки означают коммутатор матриц A и H. В этой формуле i — мнимая единица,   — приведённая постоянная Планка. Если матрица A известна в начальный момент времени, то, решая данное уравнение, можно определить её в любой момент времени.

Эквивалентность матричной механики и волновой механикиПравить

Как показал Джон фон Нейман, матричная механика полностью эквивалентна волновой механике Шрёдингера. Эквивалентность вытекает из того, что волновую функцию   можно разложить в ряд, используя определённый ортонормированной базис функций  :

 .

Коэффициенты этого разложения   задают вектор состояния.

Матрица, которая соответствует определённой физической величине A, задаётся матричными элементами оператора  

 .

Учитывая эквивалентность формулировок, в современной квантовой механике матричный подход используется на равных с описанием с помощью волновых функций.