Открыть главное меню

Мера Хаусдорфа — собирательное название класса мер, определённых на борелевской -алгебре метрического пространства .

ОпределениеПравить

Ф. Хаусдорф рассматривал[1] некоторый класс   открытых подмножеств  , на котором определил неотрицательную функцию   и

 

где нижняя грань берётся по всем конечным или счётным покрытиям борелевского множества   множествами из   с диаметром, не превосходящим  , то есть

 

и

 

Мерой Хаусдорфа  , определяемой классом   и функцией  , называется предел

 

ПримерыПравить

  1. Пусть   — совокупность всех шаров в  , a  , где  . Тогда соответствующая мера   будет называться  -мерой Хаусдорфа. При   такая мера будет называться линейной мерой Хаусдорфа, а при   — плоской мерой Хаусдорфа.
  2. Если  ,   — совокупность цилиндров с шаровыми основаниями и осями, параллельными направлению оси   и   равна  -мерному объёму осевого сечения цилиндра  , то соответствующая мера Хаусдорфа называется цилиндрической мерой.

ЛитератураПравить

  • Данфорд, Н., Шварц, Дж. Линейные операторы. Общая теория. — пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — Т. 1. — 896 с. — ISBN 5-354-00601-5..

ПримечанияПравить

  1. Hausdorff, Felix (1918), "Dimension und äusseres Mass", Mathematische Annalen Т. 79 (1-2): 157–179, DOI 10.1007/BF01457179 .