Мероморфная функция

Мероморфная функция (от греч. μέρος — «часть» и μορφή — «форма») одного комплексного переменного в области (или на римановой поверхности ) — голоморфная функция в области , которая в каждой особой точке имеет полюс (таким образом  — изолированная точка множества , не имеющего предельных точек в , и ).

Гамма-функция мероморфна на всей комплексной плоскости (цветом обозначена фаза)

Или проще: Функция комплексной переменной называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.

Совокупность всех мероморфных функций на области является полем относительно обычных поточечных операций с последующим доопределением в устранимых особенностях.

СвойстваПравить

  • Отношение   любых голоморфных в   функций,   и  , является мероморфной функцией в  .
  • Обратно, всякая мероморфная функция в области   (и на некомпактной римановой поверхности  ) представляется в виде  , где   и   голоморфны и не имеют общих нулей в  .

Таким образом, на некомпактной римановой поверхности поле   совпадает с полем частных кольца голоморфных функций в  .

  • Всякая мероморфная функция   определяет непрерывное отображение   области   в сферу Римана  , которое является голоморфным отображением относительно стандартной комплексной структуры  .
  • Обратно, всякое голоморфное отображение  , определяет мероморфную функцию   на  . При этом множество полюсов   совпадает с дискретным множеством  .

Таким образом, мероморфные функции одного комплексного переменного можно отождествлять с голоморфными отображениями в сферу Римана.

  • На всякой некомпактной римановой поверхности существует мероморфная функция с заданными полюсами   и заданными в каждом из них главной частью разложения Лорана (Теорема Миттаг-Леффлера о разложении мероморфной функции).
  • На компактной римановой поверхности (например, на торе) эта задача в общем неразрешима — нужны дополнительные условия согласования главных частей.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.