Открыть главное меню

Метод Лагранжа (дифференциальные уравнения)

Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоянных) — метод для получения общего решения неоднородного уравнения, зная общее решение однородного уравнения, без нахождения частного решения.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решения линейного неоднородного дифференциального уравненияПравить

 

Метод состоит в замене произвольных постоянных   в общем решении

 

соответствующего однородного уравнения

 

на вспомогательные функции  , производные которых удовлетворяют линейной алгебраической системе

 

Определителем системы (1) служит вронскиан функций  , что обеспечивает её однозначную разрешимость относительно  .

Если   — первообразные для  , взятые при фиксированных значениях постоянных интегрирования, то функция

 

является решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при наличии общего решения соответствующего однородного уравнения сводится, таким образом, к квадратурам.

Метод вариации произвольных постоянных для построения решений системы линейных дифференциальных уравнений в векторной нормальной формеПравить

 

состоит в построении общего решения (2) в виде

 

где   — базис решений соответствующего однородного уравнения, записанный в виде матрицы, а векторная функция  , заменившая вектор произвольных постоянных, определена соотношением  . Искомое частное решение (с нулевыми начальными значениями) при   имеет вид

 

Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение упрощается:

 

Матрица   называется матрицей Коши оператора  .

СсылкиПравить

  • exponenta.ru — Теоретическая справка c примерами