Метод Лиля — графический метод нахождения вещественных корней многочленов произвольной степени, графическое представление схемы Горнера.

ИсторияПравить

Метод был предложен австрийским инженером Эдуардом Лилем в 1867 году[1] и обобщён в его более поздней работе.[2]

Описание методаПравить

Из начала координат чертится прямоугольная ломаная линия. Первое звено чертится вправо, его длина равна старшему коэффициенту; если он отрицательный, то звено заканчивается слева от начала координат. От конца первого сегмента следующий сегмент рисуется вверх на величину второго коэффициента, затем налево на величину третьего, вниз на величину четвертого, и так далее. Последовательность направлений меняется по циклу вправо, вверх, влево, вниз, затем повторяется. Таким образом, каждый поворот происходит против часовой стрелки (если коэффициенты положительные). Процесс продолжается для каждого коэффициента полинома, включая нули. Для многочлена n-й степени получаем ломаную из n + 1 звена.

В полученную ломаную вписывается прямоугольная ломаная, соединяющая концы исходной с вершинами, расположенными последовательно на продолжениях звеньев исходной ломаной. Угловой коэффициент вписанной ломаной, взятый с обратным знаком, является корнем исходного многочлена. Более того, любой вещественный корень может быть получен таким способом.

ПриложенияПравить

  • В 1936 году Маргарита Белох использовала метод Лиля при решении кубических уравнений с помощью оригами.[3]
    • Та же идея используется при доказательстве того, что вещественные корни уравнения любой степени   могут быть найдены с помощью  -кратных складок оригами.[4]

ПримечанияПравить

  1. M. E. Lill. Résolution graphique des équations numériques de tous degrés à une seule inconnue, et description d'un instrument inventé dans ce but (фр.) // Nouvelles Annales de Mathématiques (англ.) : magazine. — 1867. — Vol. 2. — P. 359—362.
  2. M. E. Lill. Résolution graphique des équations algébriques qui ont des racines imaginaires (фр.) // Nouvelles Annales de Mathématiques (англ.) : magazine. — 1868. — Vol. 2. — P. 363—367.
  3. Thomas C. Hull. Solving Cubics With Creases: The Work of Beloch and Lill (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2011. — April. — P. 307—315. — DOI:10.4169/amer.math.monthly.118.04.307.
  4. Roger C. Alperin and Robert J. Lang. One-, Two-, and Multi-Fold Origami Axioms (неопр.) // 4OSME. — A K Peters, 2009.

ЛитератураПравить