Метод Феррари

Метод Феррари — аналитический метод решения алгебраического уравнения четвёртой степени, предложенный итальянским математиком Лодовико Феррари.

Описание методаПравить

Пусть уравнение  -й степени имеет вид

 . (1)

Если   — произвольный корень кубического уравнения

  (2)

(резольвенты основного уравнения), то четыре корня исходного уравнения находятся как корни двух квадратных уравнений

 

где подкоренное выражение в правой части является полным квадратом. Отметим, что дискриминанты исходного уравнения (1) четвёртой степени и уравнения (2) совпадают.

Представим уравнение четвёртой степени в виде:

 

Его решение может быть найдено из следующих выражений:

 
 
 
если  , тогда, решив   и, сделав подстановку  , найдём корни:
 .
 
 
 , (любой знак квадратного корня подойдёт)
 , (три комплексных корня, один из которых подойдёт)
 
 
 


Здесь   и   — два независимых параметра, каждый из которых равен либо  , либо  . Количество возможных пар их значений равно четырём, и каждая пара производит один из четырёх корней изначального уравнения четвёртой степени. В случае, если какой-то из корней является кратным, количество дающих его пар значений   и   равно степени его кратности. В зависимости от выбора   (при взятии кубического корня возникает неоднозначность) корни будут соответствовать парам в разном порядке.

ВыводПравить

Пусть имеется уравнение канонического вида:

 

Обозначим корни уравнения как  . Для корней уравнения в канонической форме будет выполняться соотношение

 

Это уравнение будет иметь по меньшей мере два недействительных корня, которые будут сопряженными друг другу. Будем считать, что это

 
 

Причём  ,   — действительные числа. Тогда два других корня можно записать как

 
 

Здесь   может быть либо действительным, либо чисто мнимым числом. Выразим a через корни уравнения

 
 

Выразим К через остальные коэффициенты:

 
 

или

 

Итого

 
 
 

Или  

Отсюда  

Заменяя  , получаем резольвенту, решив которую, находим W

ИсторияПравить

С 15 лет Луиджи Феррари был учеником у миланского математика Джероламо Кардано, который быстро обнаружил его выдающиеся способности. К этому времени Кардано уже был известен алгоритм решения кубических уравнений; Феррари сумел найти аналогичный способ для решения уравнений четвёртой степени. Оба алгоритма Кардано опубликовал в своей книге «Высокое искусство».

См. такжеПравить

СсылкиПравить