Метод разделения переменных

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных переменных величин, причем одни из них являются функциями других.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов) и методом стоячих волн.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от $x$ на функцию только от $y$ (при этом функция $y$ является функцией от $x$). :

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y).\qquad (1)$

При $h(y)\neq 0$ это уравнение можно переписать в виде

${\frac {dy}{h(y)}}=g(x)dx$.

Пусть $y(x)$ — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

$\int {\frac {dy}{h(y)}}=\int g(x)dx+C$.

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде:

$M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy=0,$

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на $N(y)P(x)$:

${\frac {M(x)dx}{P(x)}}+{\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=0,$

откуда получится общий интеграл

$\int {\frac {M(x)dx}{P(x)}}+\int {\frac {Q(y)dy}{N(y)}}=C.$

Пример

Пусть

$xdy-ydx=0$.

Разделяя переменные, получим

${\frac {dy}{y}}={\frac {dx}{x}}.$

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь

$\ln |y|=\ln |x|+\ln C_{1},$

где $C_{1}$ — положительная постоянная. Отсюда

$|y|=C_{1}|x|$

или

$y=Cx,$

где $C=\pm C_{1}$ — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции $x=0$ и $y=0$. Последнее решение получается из общего решения $y=Cx$ при $C=0$.

Уравнения в частных производных

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков .

Однородное уравнение

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах:

$u_{tt}=a^{2}u_{xx},\qquad (2)$

$u(0,t)=0,\quad u(l,t)=0,\qquad (3)$

$u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x).\qquad (4)$

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения

$u(x,t)=X(x)T(t).\quad (5)$

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на $a^{2}X(x)T(t)$:

${\frac {X''(x)}{X(x)}}={\frac {T''(t)}{a^{2}T(t)}}.\qquad (6)$

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного $x$, правая — только $t$. Следовательно, обе части не зависят ни от $x$, ни от $t$ и равны некоторой константе $-\lambda$. Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций $X(x)$ и $T(t)$:

$X''(x)+\lambda X(x)=0,\quad X(x)\not \equiv 0,\qquad (7)$

$T''(t)+a^{2}\lambda T(t)=0,\quad T(t)\not \equiv 0,\qquad (8)$

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

$X(0)=X(l)=0.\qquad (9)$

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)

$X_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,$

определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях $\lambda$, равных собственным значениям

$\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,2,3,\dots$

Этим же значениям $\lambda _{n}$ соответствуют решения уравнения (8)

$T_{n}(t)=A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at,$

где $A_{n}$ и $B_{n}$ — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

$u_{n}(x,t)=X_{n}(x)T_{n}(t)$

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(A_{n}\cos {\frac {\pi n}{l}}at+B_{n}\sin {\frac {\pi n}{l}}at\right)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,$

где константы $A_{n}$ и $B_{n}$ могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций $\varphi (x)$ и $\psi (x)$:

$A_{n}={\frac {2}{l}}\int _{0}^{l}\varphi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx,\quad B_{n}={\frac {2}{\pi na}}\int _{0}^{l}\psi (x)\sin {\frac {\pi n}{l}}xdx.$

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида

${\frac {\partial }{\partial x}}\left[k(x){\frac {\partial u}{\partial x}}\right]-q(x)u=\rho (x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},$

где $k$, $q$ и $\rho$ — непрерывные положительные на отрезке $0<x<l$ функции. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

${\frac {d}{dx}}\left[k(x){\frac {dX}{dx}}\right]-q(x)X+\lambda \rho (x)X=0,\quad X(0)=X(l)=0.\qquad (10)$

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнение

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны

$u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f(x,t)\quad (11)$

функции $u$ и $f$ разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x,$

$f(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(t)\sin {\frac {\pi n}{l}}x.$

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы $\left\{\sin {\frac {\pi n}{l}}x\right\}$ даёт уравнение относительно $T_{n}(t)$:

$T''_{n}(t)+a^{2}\lambda _{n}T_{n}(t)=f_{n}(t).\qquad (12)$

Функции $T_{n}(t)$ могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

Программное обеспечение

Xcas: split((x+1)*(y-2),[x,y]) = [x+1,y-2]

См. также

• Ряд Фурье
• Задача Штурма — Лиувилля

Литература

• Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
• Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
• Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
• Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.