Открыть главное меню

Метод разделения переменных — метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных.

В применении к уравнениям в частных производных схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. В этом случае метод также называют методом Фурье (в честь Жана Батиста Фурье, построившего решения уравнения теплопроводности в виде тригонометрических рядов[1]) и методом стоячих волн[2][3].

Обыкновенные дифференциальные уравненияПравить

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение, правая часть которого есть произведение функции только от   на функцию только от   [4]:

 

При   это уравнение можно переписать в виде

 .

Пусть   — некоторое решение уравнения (1). Из равенства дифференциалов следует, что их неопределённые интегралы отличаются лишь произвольным постоянным слагаемым:

 .

Вычисляя интегралы, получим общий интеграл уравнения (1).

Если уравнение задано в виде[5]:

 

то для разделения переменных не нужно приводить его к виду (1). Достаточно разделить обе части на  :

 

откуда получится общий интеграл

 

ПримерПравить

Пусть

 [6].

Разделяя переменные, получим

 

Интегрируя обе части последнего равенства, будем иметь

 

где   — положительная постоянная. Отсюда

 

или

 

где   — произвольная постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Решениями данного дифференциального уравнения являются также функции   и  . Последнее решение получается из общего решения   при  .

Уравнения в частных производныхПравить

Метод разделения переменных применяется для решения краевых задач для линейных уравнений второго порядка гиперболического, параболического и эллиптического типов, а также для некоторых классов нелинейных уравнений и уравнений высших порядков [7].

Однородное уравнениеПравить

Приведем схему метода для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах[8]:

 

 

 

Будем искать тождественно не равные нулю решения уравнения (2), удовлетворяющие краевым условиям (3) в виде произведения

 

Подставим предполагаемый вид решения в уравнение (2) и поделим на  :

 

Левая часть равенства (6) является функцией только переменного  , правая — только  . Следовательно, обе части не зависят ни от  , ни от   и равны некоторой константе  . Получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций   и  :

 

 

Подставляя (5) в краевые условия (3), получаем

 

Приходим к задаче Штурма-Лиувилля (7),(9). Эта задача имеет нетривиальные решения (собственные функции)

 

определяемые с точностью до произвольного множителя только при значениях  , равных собственным значениям

 

Этим же значениям   соответствуют решения уравнения (8)

 

где   и   — произвольные постоянные.

Таким образом, функции

 

являются частными решениями уравнения (2), удовлетворяющими условиям (3). Решение задачи (2)-(4) получается в виде бесконечной суммы частных решений

 

где константы   и   могут быть найдены из начальных условий (4) как коэффициенты Фурье функций   и  :

 

Метод разделения переменных также применим к уравнению колебаний струны общего вида

 

где  ,   и   — непрерывные положительные на отрезке   функции[9]. В этом случае решение строится в виде ряда по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

 

Основополагающие работы по обоснованию метода Фурье принадлежат В. А. Стеклову[10]. Теорема Стеклова утверждает, что при определенных условиях любая функция единственным образом разлагается в ряд Фурье по собственным функциями краевой задачи (10).

Неоднородное уравнениеПравить

Метод разделения переменных для неоднородных уравнений иногда называют методом Крылова в честь А. Н. Крылова[2]. При решении краевой задачи для уравнения неоднородного уравнения колебаний струны

 

функции   и   разлагаются в ряды Фурье по системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля для соответствующего однородного уравнения (2):

 

 

Подстановка полученных рядов в уравнение (11) с учетом ортогональности системы   даёт уравнение относительно  :

 

Функции   могут быть найдены как решения задач Коши для уравнений (12) с начальными условиями, полученными из начальных условий исходной краевой задачи.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Смирнов В. И. Курс высшей математики. — 21-е издание. — Наука, 1974. — Т. 2.
  • Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — Изд. 6-е. — 1950.
  • Демидович Б. П., Моденов В. П. Дифференциальные уравнения: учебное пособие. — 3-е изд.. стер.. — СПб.: Лань, 2008. — 288 с.
  • Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Метод разделения переменных в математической физике. — СПб., 2009. — 92 с. — ISBN 978–5–94777–211–1.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики: Учебное пособие.. — 6-е изд., испр. и доп.. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с. — ISBN 5-211-04138-0.
  • Юрко В. А. Уравнения математической физики: учеб. пособие для студентов механико-математического и физического факультетов. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. — 118 с. — ISBN 5-292-03022-8.