Метод характеристик — метод решения дифференциальных уравнений в частных производных. Обычно применяется к решению уравнений в частных производных первого порядка, но он может быть применён и к решению гиперболических уравнений более высокого порядка.

Принцип

править

Метод заключается в приведении уравнения в частных производных к семейству обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для этого требуется найти кривые (именуемые характеристиками), вдоль которых уравнение в частных производных превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Как только найдены обыкновенные дифференциальные уравнения, их можно решить вдоль характеристик и найденное решение превратить в решение исходного уравнения в частных производных.

Примеры

править

Квазилинейное уравнение на плоскости

править

Рассмотрим следующее квазилинейное уравнение относительно неизвестной функции  

 

Рассмотрим поверхность   в  . Нормаль к этой поверхности задается выражением

 

В результате получим, что уравнение эквивалентно геометрическому утверждению о том, что векторное поле

 

является касательным к поверхности   в каждой точке.

В этом случае уравнения характеристик могут быть записаны в виде[1]:

 

или же, если x(t), y(t), z(t) суть функции параметра t:

 

То есть поверхность   образована однопараметрическим семейством описанных кривых. Такая поверхность полностью задаётся одной кривой на ней трансверсальной к векторному полю  .

Уравнение переноса

править

Рассмотрим частный случай уравнения выше, так называемое уравнение переноса (возникает при решении задачи о свободном расширении газа в пустоту):

 

где   постоянная, а   — функция переменных   и  .

Нам бы хотелось свести это дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка к обыкновенному дифференциальному уравнению вдоль соответствующей кривой, то есть получить уравнение вида

 ,

где   — характеристика.

Вначале мы устанавливаем

 

Теперь, если положить   и  , получим

 , что является левой частью уравнения переноса, с которого мы начали. Таким образом,
 

Как видно, вдоль характеристики   исходное уравнение превращается в ОДУ  , которое говорит о том, что вдоль характеристик решение постоянное. Таким образом,  , где точки   и   лежат на одной характеристике. Видно, что для нахождения общего решения достаточно найти характеристики уравнения, решая следующую систему ОДУ:

  •  , при   решение —  ,
  •  , при   решение —  ,
  •  , при   решение —  .

В нашем случае, характеристики — это семейство прямых с наклоном  , и решение   остается постоянным вдоль каждой из характеристик.

Постановка задачи Коши

править

Для выбора частного решения из общего необходимо поставить задачу Коши, как и в случае обыкновенных дифференциальных уравнений. Начальное условие задается на начальной гиперповерхности S:

 

В общем случае почти невозможно сформулировать условие глобальной разрешимости задачи Коши, однако если ограничиться условием локальной разрешимости, можно воспользоваться следующей теоремой:

Решение задачи Коши в окрестности точки   существует и единственно, если проходящая через   характеристика трансверсальна поверхности S[2]

Примечания

править
  1. Delgado, 1997
  2. Е. А. Кузнецов, Д. А. Шапиро МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ. Часть I - PDF Free Download (недоступная ссылка — история). docplayer.ru. Дата обращения: 19 января 2020.

Литература

править
  • Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume II, Wiley-Interscience
  • Delgado, Manuel (1997), "The Lagrange-Charpit Method", SIAM Review, 39 (2): 298—304, Bibcode:1997SIAMR..39..298D, doi:10.1137/S0036144595293534, JSTOR 2133111
  • Evans, Lawrence C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2
  • John, Fritz (1991), Partial differential equations (4th ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90609-6
  • Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F.; Moussiaux, A. (2002), Handbook of First Order Partial Differential Equations, London: Taylor & Francis, ISBN 0-415-27267-X
  • Polyanin, A. D. (2002), Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, ISBN 1-58488-299-9
  • Sarra, Scott (2003), "The Method of Characteristics with applications to Conservation Laws", Journal of Online Mathematics and its Applications.
  • Streeter, VL; Wylie, EB (1998), Fluid mechanics (International 9th Revised ed.), McGraw-Hill Higher Education