Открыть главное меню

Метризуемое пространство

Метризуемое пространствотопологическое пространство, гомеоморфное некоторому метрическому пространству. Иначе говоря, пространство, топология которого порождается некоторой метрикой.

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки. Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

Необходимые условия метризуемостиПравить

Достаточное условие метризуемостиПравить

Каждое нормальное пространство (и даже каждое регулярное пространство) со счётной базой метризуемо. (Урысон и А. Н. Тихонов)

Эквивалентные условия метризуемостиПравить

Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 П. С. Александровым и Урысоном. На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:

  • пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно коллективно нормально и обладает счётным измельчающимся множеством открытых покрытий;
  • (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет  -аксиоме отделимости . При этом множество открытых покрытий пространства   называется фундаментальным, если для каждой точки  , каждой её окрестности   найдутся покрытие   и окрестность   точки   такие, что каждый элемент покрытия  , пересекающийся с  , содержится в  .

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.

  • Критерий Нагаты — Смирнова: пространство   метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает базой, распадающейся на счетное множество локально конечных семейств множеств.

Критерий Бинга аналогичен, но в нем вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств. Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы. База   пространства   называется регулярной (равномерной), если для всякой точки   и любой её окрестности   найдется окрестность   этой точки такая, что число элементов базы  , пересекающих одновременно   и дополнение к  , конечно (соответственно, если множество элементов   таких что  ,   конечно).

  • Пространство   метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
  • Для метризуемости  -пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.

По теореме Ковальского, счётная степень ежа колючести   (при  ) является универсальным пространством для всех метризуемых пространств веса  . Таким образом,пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно подпространству счётной степени ежа некоторой колючести  .[1]

Частные случаиПравить

Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств. Так, для метризуемости компакта   любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:

  • X обладает счетной базой;
  • X обладает точечно-счетной базой;
  • в X есть счётная сеть;

Для метризуемости пространства топологической группы необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась первая аксиома счётности и аксиома отделимости  , причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

О полнотеПравить

Не всякое метризуемое пространство метризуемо полной метрикой; таково, например, пространство рациональных чисел. Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и полно по Чеху, то есть является множеством типа Gδ в некотором содержащем его компакте. Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является свойство Бэра: пересечение любого счетного семейства всюду плотных открытых множеств всюду плотно.

Вариации и обобщенияПравить

К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам моровские пространства — вполне регулярные пространства, обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и кружевные пространства.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии. На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы неравенства треугольника. В эту схему укладываются и моровские пространства. Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в полуполях и других алгебраических образованиях общей природы.

ЛитератураПравить

  • Александров, Павел Сергеевич, Борис Алексеевич Пасынков. Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — Наукa, Главная редакция физико-математической литературы, 1973.
  1. Swardson, M. A. A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem. американское математическое общество (1 июня 1979).