Метрическое дерево

Метрическое дерево (или $\mathbb {R}$-дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

Определение

Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника $[xyz]$ найдется точка $p$, лежащая на всех трёх геодезических $[xy],[yz],[zx]$.

Свойства

• Геодезическое пространство $X$ является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек $p,q,x,y\in X$ выполняется следующее неравенство:

  $|p-q|_{X}+|x-y|_{X}\leqslant \max\{\,|p-x|_{X}+|q-y|_{X},|p-y|_{X}+|q-x|_{X}\,\},$

где $|p-q|_{X}$ обозначает расстояние между точками $p$ и $q$ в метрическом пространстве $X$.

• Если $X_{n}$ — последовательность $\delta _{n}$-гиперболических пространств, и $\delta _{n}\to 0$ при $n\to \infty$, то ультрапредел $X_{n}$ является метрическим деревом.
  • В частности, конус на бесконечности $\delta$-гиперболического пространства является метрическим деревом.

Примеры

• Если $X$ — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф $X$ — дерево (то есть не имеет циклов).
• Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.