Метрическое дерево

Метрическое дерево (или -дерево) — определённый тип метрических пространств. Являются простейшими примерами гиперболических пространств в смысле Громова; их можно определить как 0-гиперболические пространства в смысле Громова, то есть все их треугольники являются ноль-тонкими.

Они возникают естественным образом в геометрической теории групп и теории вероятностей.

ОпределениеПравить

Геодезическое пространство   является метрическим деревом, если это пространство, где каждый треугольник является треногой; иначе говоря, если для каждого треугольника   найдется точка  , лежащая на всех трёх геодезических  .

СвойстваПравить

  • Геодезическое пространство   является метрическим деревом тогда и только тогда, когда для любых четырёх точек   выполняется следующее неравенство:
     
где   обозначает расстояние между точками   и   в метрическом пространстве  .
  • Если   — последовательность  -гиперболических пространств, и   при  , то ультрапредел   является метрическим деревом.

ПримерыПравить

  • Если   — это граф с комбинаторной метрикой, тогда это метрическое дерево, тогда и только тогда, когда граф  дерево (т. е. не имеет циклов).
  • Вещественная прямая, к каждой точке которой приклеено по вещественной прямой.