Мнимая единица
Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен . В математике и физике мнимая единица обозначается латинской буквой , в электротехнике — буквой .
Введение мнимой единицы позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Одной из причин введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — об этом говорит основная теорема алгебры. Существуют и другие области, в которых комплексные числа приносят большую пользу.
Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: при наличии трёх вещественных корней для получения двух из них формула Кардано требовала извлечения квадратных корней из отрицательных чисел.
Вплоть до конца XIX века наряду с символом использовалось обозначение однако современные источники предписывают во избежание ошибок под знаком радикала помещать только неотрицательные выражения[1][2]. Более того, помимо мнимой единицы, существует ещё одно комплексное число, квадрат которого равен — число в паре с которым мнимая единица составляет следующие свойства:
- числа i и −i являются одновременно противоположными и обратными: последнее верно потому, что произведение этих чисел равно 1;
- i и −i комплексно сопряжены, так что их сумма (ноль) и произведение (единица) вещественны одновременно (свойства сопряжённых чисел).
Термин «мнимая единица» может употребляться не только для комплексных чисел, но и для их обобщений
.Степени мнимой единицы
правитьСтепени повторяются в цикле:
что может быть записано для любой степени в виде:
где n — любое целое число.
Отсюда: , где mod 4 — это остаток от деления на 4.
Возведение в комплексную степень является многозначной функцией. Например, таковой является величина , которая представляет бесконечное множество вещественных чисел ( ):
- где
При получаем число соответствующее главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
- Представим основание в виде комплексной экспоненты (в этом случае её показателем будет комплексный логарифм):
Альтернативным путём является представление основания в показательной форме:
Нетрудно убедиться, что оба полученных выражения тождественно равны.
Найдем модуль и аргумент числа :
- , где
Подставим полученные значения для модуля и аргумента в выражение для :
Таким образом, получаем:
- , где ∎
И очевидно, что:
- Теперь докажем, что число является частным значением , которое соответствует главному значению аргумента (или главному значению комплексного натурального логарифма) мнимой единицы.
Ранее было найдено главное значение аргумента мнимой единицы (т.е. такое, что попадает в промежуток ):
Подставляя его вместо в выражение для , получим искомое частное значение:
Также верно, что .
Факториал
правитьФакториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:
Также
потому что |i!|2 = i! i! = i! (i)! = Γ(1 + i) Γ(1 − i), что по рекуррентному соотношению гамма-функции можно переписать как i Γ(i) Γ(1 − i), а затем по формуле дополнения Эйлера — как iπ/sin πi = π/sinh π.
Корни из мнимой единицы
правитьВ поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n значений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.
В частности, и
Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
Иные мнимые единицы
правитьВ конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения .
К вопросу об интерпретации и названии
правитьГаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввёл термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.
Обозначения
правитьОбычное обозначение — , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока: [4][5].
В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j
.
В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как 𝕚
.
См.также
правитьПримечания
править- ↑ Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — С. 49. — 591 с.
- ↑ Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — 2-е изд. — М.: Наука, 1970. — С. 33. — 720 с.
- ↑ "abs(i!) Архивная копия от 6 июля 2015 на Wayback Machine", WolframAlpha.
- ↑ Комплексное число : [арх. 8 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- ↑ Мнимая единица // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 708.
Ссылки
править- Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.