Открыть главное меню
на комплексной плоскости. Вещественные числа лежат на горизонтальной оси, чисто мнимые — на вертикальной.

Мни́мая едини́ца — комплексное число, квадрат которого равен −1 (минус единице). Термин может употребляться также в обобщённом смысле не только для комплексных чисел[⇨].

В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа расширения.

Причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Так, уравнение не имеет вещественных корней. Однако оказывается, что любое полиномиальное уравнение с комплексными коэффициентами имеет комплексное решение — «Основная теорема алгебры».

Исторически мнимая единица сначала была введена для решения вещественного кубического уравнения: нередко, при наличии трёх вещественных корней, для получения двух из них формула Кардано требовала брать кубический корень в комплексных числах.

Утверждение, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем точно: ведь «−1» имеет два квадратных корня, один из которых можно обозначить как «i», а другой как «−i». Какой именно корень принять за мнимую единицу — неважно: все равенства сохранят силу при одновременной замене всех «i» на «-i» и «-i» на «i». Однако из-за этой двусмысленности, чтобы избежать ошибочных выкладок, не следует применять обозначение для через радикал (как ).

Содержание

ОпределениеПравить

Мнимая единица — это число, квадрат которого равен −1. Т.е.    — это одно из решений уравнения

    или    

И тогда его вторым решением будет  , что проверяется подстановкой.

Степени мнимой единицыПравить

Степени   повторяются в цикле:

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Что может быть записано для любой степени в виде:

 
 
 
 

где n — любое целое число.

Отсюда:   где mod 4 — это остаток от деления на 4.

Из тождества Эйлера следует, что число   является вещественным:

 .

Точнее, в комплексном анализе возведение в степень:   является многозначной функцией, поэтому

 , где  .

Также верно, что  .

ФакториалПравить

Факториал мнимой единицы i можно определить как значение гамма-функции от аргумента 1 + i:

 

Также

 [1]

Корни из мнимой единицыПравить

 
Корни квадратные из мнимой единицы
 
Корни кубические из мнимой единицы (вершины треугольника)

В поле комплексных чисел корень n-й степени имеет n решений. На комплексной плоскости корни из мнимой единицы находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.

 

В частности,   и  

Также корни из мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:

 

Иные мнимые единицыПравить

В конструкции удвоения по Кэли — Диксону или в рамках алгебры по Клиффорду «мнимых единиц расширения» может быть несколько. Но в этом случае могут возникать делители нуля и иные свойства, отличные от свойств комплексного «i». Например, в теле кватернионов три антикоммутативных мнимых единицы, а также имеется бесконечно много решений уравнения « ».

К вопросу об интерпретации и названииПравить

 Гаусс утверждал также, что если бы величины 1, −1 и √−1 назывались соответственно не положительной, отрицательной и мнимой единицей, а прямой, обратной и побочной, то у людей не создавалось бы впечатления, что с этими числами связана какая-то мрачная тайна. По словам Гаусса, геометрическое представление дает истинную метафизику мнимых чисел в новом свете. Именно Гаусс ввел термин «комплексные числа» (в противоположность «мнимым числам» Декарта) и использовал для обозначения √−1 символ i.
Морис Клайн, «Математика. Утрата определённости». Глава VII. Нелогичное развитие: серьёзные трудности на пороге XIX в.
 

ОбозначенияПравить

Обычное обозначение  , но в электро- и радиотехнике мнимую единицу принято обозначать  , чтобы не путать с обозначением мгновенной силы тока:  .

В языке программирования Python мнимая единица записывается как 1j.

В языке программирования Wolfram Language мнимая единица записывается как I.

См.такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. "abs(i!)", WolframAlpha.

СсылкиПравить