Открыть главное меню

Многочлен Лежа́ндра — многочлен, который в наименьшей степени отклоняется от нуля в смысле среднего квадратического. Образует ортогональную систему многочленов на отрезке в пространстве . Многочлены Лежандра могут быть получены из многочленов ортогонализацией Грама ― Шмидта.

Многочлены Лежандра
Общая информация
Формула
Скалярное произведение
Область определения
Дополнительные характеристики
Дифференциальное уравнение
Норма
Названы в честь Лежандр, Адриен Мари

Названы по имени французского математика Адриен Мари Лежандра.

Содержание

ОпределениеПравить

Полиномы Лежандра и присоединённые функции Лежандра первого и второго родаПравить

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

  (УравнПолЛеж)

где   — комплексная переменная. Решения этого уравнения при целых   имеют вид многочленов, называемых многочленами Лежандра. Полином Лежандра степени   можно представить через формулу Родрига в виде[1]

 

Часто вместо   записывают косинус полярного угла:

 

Уравнение (УравнПолЛеж) можно получить из частного случая гипергеометрического уравнения, называемого уравнением Лежандра

  (УравнЛеж)

где  ,   — произвольные комплексные постоянные. Интерес представляют его решения, являющиеся однозначными и регулярными при   (в частности, при действительных  ) или когда действительная часть числа   больше единицы. Его решения называют присоединёнными функциями Лежандра или шаровыми функциями. Подстановка вида   в (УравнЛеж) даёт уравнение Гаусса, решение которого в области   принимает вид

 

где   — гипергеометрическая функция. Подстановка   в (УравнЛеж) приводит к решению вида

 

определённым на  . Функции   и   называют функциями Лежандра первого и второго рода.[2]

Справедливы соотношения[3]

 

и

 

Выражение через суммыПравить

  • Многочлены Лежандра также определяются по следующим формулам:
 
 
 , если  
 , если  

Рекуррентная формулаПравить

  • Они также могут быть вычислены по рекуррентной формуле (при n   1)[4]:
  (РекуррЛеж)
причем первые две функции имеют вид
 
 

Производная полинома ЛежандраПравить

  • Вычисляется по формуле[5]:
  (ПроизвЛеж)

Корни полинома ЛежандраПравить

  • Вычисляются итеративно по методу Ньютона[5]:
 


причем начальное приближение для  -го корня ( ) берется по формуле[5]

 

Значение полинома можно вычислять используя рекуррентную формулу для конкретного значения x. Производную также можно вычислять для конкретного значения x, используя формулу для производной.

Формулы с разложениямиПравить

  • Многочлены Лежандра также определяются следующими разложениями:


для  

 


и для  

 

Следовательно,  

Присоединённые многочлены ЛежандраПравить

Присоединённые многочлены Лежандра определяются по формуле:

 

которую также можно представить в виде:

 

При   функция   совпадает с  .

Нормировка по правилу ШмидтаПравить

Нормированные по правилу Шмидта полиномы Лежандра выглядят следующим образом[6]:

 
 

Сдвинутые многочлены ЛежандраПравить

Сдвинутые многочлены Лежандра определяются как  , где сдвигающая функция   (это аффинное преобразование) — выбрана так чтобы однозначно отображать интервал ортогональности многочленов   на интервал   в котором уже ортогональны сдвинутые многочлены  :

 

Явное выражение для смещённых многочленов Лежандра задаётся как:

 

Аналогом формулы Родрига для смещенных многочленов Лежандра является:

 

Выражения для некоторых первых сдвинутых многочленов Лежандра:

n  
0  
1  
2  
3  
4  

Матрица функции многочлена ЛежандраПравить

 

Эта матрица является верхнетреугольной. Её определитель равен нулю, а собственные значения равны  , где  .

ПримерыПравить

 
Первые 6 многочленов Лежандра.

Первые многочлены Лежандра равны:

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  

Поскольку  , то

 

СвойстваПравить

  • Если  , то  
  • Для   степень   равна  .
  • Сумма коэффициентов многочлена Лежандра   равна 1.
  • Уравнение   имеет ровно   различных корней на отрезке  
  • Пусть  . Тогда:
  •  
  •  
 
При   уравнение принимает вид
 
 
 

где   — символ Кронекера.

  • Для   норма   равна:
 
  • Нормированная функция многочленов Лежандра связана с нормой   следующим соотношением:
 
  • При каждом   система присоединённых функций Лежандра   полна в  .
  • В зависимости от   и   присоединённые многочлены Лежандра могут быть как чётными, так и нечётными функциями:
 
  •   — четная функция;
  •   — нечетная функция.
  •  
  •  
  •  , поскольку    , а  .
  • Для  ,  .
  •  

Ряды многочленов ЛежандраПравить

Разложение липшицевой функции в ряд многочленов ЛежандраПравить

Липшицевая функция   является функцией со свойством:

 , где  .

Эта функция разлагается в ряд многочленов Лежандра.

Пусть   — пространство непрерывных отображений на отрезке  ,   и  .

Пусть

 

тогда   удовлетворяет следующему условию:

 

Пусть   и   удовлетворяет следующим условиям:

  1.  , где  
  2.  
  3.  

Липшецевую функцию   можно записать следующим образом:

 

Разложение голоморфной функцииПравить

Всякая функция  , голоморфная внутри эллипса с фокусами −1 и +1, может быть представлена в виде ряда:

 

Теорема сложенияПравить

Для величин, удовлетворяющих условиям  ,  ,  ,   — действительное число, можно записать теорему сложения для полиномов Лежандра первого рода:[7]

 

или, в альтернативной форме через гамма-функцию:

 

Для полиномов Лежандра второго рода теорема сложения выглядит как[8]

 

при условиях  ,  ,  ,  .

Функции ЛежандраПравить

Многочлены Лежандра (вместе с присоединёнными функциями Лежандра  ) естественно возникают в теории потенциала.

Шаровые функции — это функции (в сферических координатах  ) вида (с точностью до константы)

  и  

где   — присоединённые многочлены Лежандра;

а точнее вида   , где   — сферические функции.

Шаровые функции удовлетворяют уравнению Лапласа всюду в   .

ПримечанияПравить

  1. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1039.
  2. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 126—127.
  3. Бейтмен, Эрдейи, Т. 1, 1973, с. 140.
  4. Цимринг, 1988, с. 196.
  5. 1 2 3 Цимринг, 1988, с. 197.
  6. John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. GNU Octave. — Edition 4 for Octave version 4.4.1. — 2018. — С. 530—531.
  7. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1027.
  8. Градштейн, Рыжик, 1963, с. 1028.

ЛитератураПравить

  • Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции = Higher Transcendental Functions / Пер. Н. Я. Виленкина. — Изд. 2-е,. — М.: Наука, 1973. — Т. 1. — 296 с. — 14 000 экз.
  • Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. — М.: Физматлит, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5.
  • Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Изд. 4-е, перераб. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — 19 000 экз.
  • Кампе де Ферье Ж., Кемпбелл Р., Петьо Г., Фогель Т. Функции математической физики. — М.: Физматлит, 1963.
  • Никольский С. М. Квадратурные формулы. — М.: Наука, 1988.
  • Цимринг Ш. Е. Специальные функции и определенные интегралы. Алгоритмы. Программы для микрокалькуляторов: Справочник. — М.: Радио и связь, 1988.

СсылкиПравить