Многочлены Шапиро

Многочлены Шапиро — последовательность многочленов, впервые изученная Гарольдом Шапиро в 1951 году при рассмотрении величин некоторых специальных тригонометрических сумм[1]. С точки зрения обработки сигналов, полиномы Шапиро обладают хорошими автокорреляционными свойствами[2], и их значения в единичном круге малы. Первые члены последовательности:

,

где вторая последовательность, Q, называется дополнительной к первой последовательности, P.

ПостроениеПравить

Полиномы Шапиро   могут быть получены из последовательности Рудина-Шапиро   ( , если число подстрок 11 в двоичной записи числа n четно, и   иначе (OEIS A020985)). Так,   и т. д.

  есть частичная сумма порядка   степенного ряда  

Последовательность Рудина-Шапиро   имеет структуру, схожую с фрактальной — например,  , то есть подпоследовательность   совпадает с исходной  . Это свойство приводит к примечательным функциональным уравнениям, которым удовлетворяет  .

Дополнительные полиномы Шапиро,  , могут быть определены через эту же последовательность, через отношение  , или же через рекуррентные формулы:

 
 
 

СвойстваПравить

Дополнительная последовательность,  , соответствующая  , однозначно определяется следующими свойствами:

  1. Степень   равна  .
  2. Коэффициенты   равны  , коэффициент при нулевой степени равен 1.
  3. Равенство   выполнено на всей единичной окружности  .

Наиболее интересным свойством последовательности   является то, что модуль значения   на единичной окружности ограничен  , что по порядку равно  -норме  . Многочлены с коэффициентами  , максимум модуля которых на единичной окружности близок к среднему значению модуля, полезны в различных приложениях теории коммуникаций (например, форма антенны и сжатие данных). Свойство (3) показывает, что (P, Q) образуют пару Голея.

Другие свойства этих многочленов[3]:

 
 
 
 
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. John Brillhart and L. Carlitz. Note on the Shapiro polynomials (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society : journal. — Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 25, No. 1, 1970. — May (vol. 25, no. 1). — P. 114—118. — doi:10.2307/2036537.
  2. Somaini, U. Binary sequences with good correlation properties (англ.) // Electronics Letters  (англ.) : journal. — 1975. — 26 June (vol. 11, no. 13). — P. 278—279. — doi:10.1049/el:19750211.
  3. J. Brillhart; J.S. Lomont, P. Morton. Cyclotomic properties of the Rudin–Shapiro polynomials (англ.) // J. Reine Angew. Math. : journal. — 1976. — Vol. 288. — P. 37—65.

Список литературыПравить