Открыть главное меню

Многочлен Александера — это инвариант узла, который сопоставляет многочлен с целыми коэффициентами узлу любого типа. Джеймс Александер обнаружил его, первый многочлен узла, в 1923. В 1969 Джон Конвей представил версию этого многочлена, ныне носящую название многочлен Александера — Конвея. Этот многочлен можно вычислить с помощью скейн-соотношения, хотя важность этого не была осознана до открытия полинома Джонса в 1984. Вскоре после доработки Конвеем многочлена Александера стало понятно, что похожее скейн-coотношение было и в статье Александера для его многочлена[1].

Содержание

ОпределениеПравить

Пусть K — узел на 3-сфере. Пусть X — бесконечное циклическое накрытие дополнения узла[en] K. Это накрытие можно получить путём разрезания дополнения узла вдоль поверхности Зейферта узла K и склеивания бесконечного числа копий полученного многообразия с границей. Существует накрывающее преобразование[en] t, действующее на X. Обозначим первую гомологию (с целыми коэффициентами) X через  . Преобразование t действует на эту гомологию, так что мы можем считать   модулем над  . Он называется инвариантом Александера или модулем Александера.

Модуль имеет конечное задание. Матрица копредставления для этого модуля называется матрицей Александера. Если число генераторов, r, меньше либо равно числу отношений, s, рассмотрим идеал, образованный всеми минорами r на r матрицы. Это нулевой идеал Фиттинга[en], или идеал Александера, и он не зависит от выбора матрицы копредставления. Если r > s, полагаем идеал равным 0. Если идеал Александера является главным, берём генератор, и он называется многочленом Александера узла. Поскольку он уникальный с точностью до умножения на одночлен Лорана  , часто приводят к определённому уникальному виду. Александер выбирал нормализацию, чтобы иметь положительный постоянный член.

Александер доказал, что идеал Александера ненулевой и всегда главный. Таким образом, многочлен Александера всегда существует и ясно, что это инвариант узла, его обозначение —  . Многочлен Александера для узла, образованного одной нитью, имеет степень 2 и для зеркального отражения узла многочлен будет тем же самым.

Вычисление многочленаПравить

Следующая процедура для вычисления многочлена Александера была приведена Дж. В. Александером в своей статье.

Возьмём ориентированную диаграмму узла с n пересечениями. Имеется n + 2 областей диаграммы. Чтобы получить многочлен Александера, сначала построим матрицу инцидентности размера (n, n + 2). n строк соответствуют n пересечениям, а n + 2 столбцов соответствуют областям. Значениями элементов матрицы будут 0, 1, −1, t, −t.

 
Значения элементов матрицы для областей, смежных пересечению. Линия, отмеченная стрелкой, лежит снизу и стрелка указывает направление обхода.

Рассмотрим элемент матрицы, соответствующий некоторой области и пересечению. Если область не прилегает к пересечению, элемент равен 0. Если область прилегает к пересечению, значение элемента зависит от положения. Рисунок справа показывает значение элементов в матрице для пересечения (лежащий ниже участок узла помечен направлением обхода, для лежащего сверху направление не имеет значения). Следующая таблица задаёт значения элементов в зависимости от положения, области относительно лежащей снизу линии.

слева до пересечения: −t
справа до пересечения: 1
слева после пересечения: t
справа после пересечения: −1

Удалим два столбца, соответствующих смежным регионам из матрицы, и вычислим определитель полученной n х n матрицы. В зависимости от того, какие столбцы удалены, ответ будет отличаться на множитель  . Во избежание неоднозначности разделим многочлен на наибольшую возможную степень t и умножим на −1, если необходимо, для получения положительного коэффициента. Полученный многочлен есть многочлен Александера.

Многочлен Александера можно вычислить, исходя из матрицы Зейферта[en].

После работы Александера Р. Фокс рассматривал копредставление группы узла  , и предложил некоммутативный метод вычисления[2], который также позволяет вычислить  . Детальное изложение подхода можно найти в книге Crowell & Fox (1963).

Пример построения многочленаПравить

 
Вычисление многочлена Александера для трилистника.
Стрелка показывает направление обхода, линия со стрелкой проходит снизу.

Построим многочлен Александера для трилистника. На рисунке показаны области (A0, A1, A2, A3, A4) и точки пересечения (P1, P2, P3), а также значения элементов таблицы (рядом с точками пересечения).

Таблица Александера для трилистника примет вид:

ТочкаA0A1A2A3A4
P1-10-tt1
P2-11-t0t
P3-1t-t10

Отбросим первые два столбца и вычислим определитель:  . Разделим полученное выражение на  , получим многочлен Александера для трилистника:  .

Основные свойства многочленаПравить

Многочлен Александера симетричен:   для всех узлов K.

С точки зрения определения, это выражение двойственности Пуанкаре изоморфизма   где   факторгруппа поля частных   на  ,  -модуль, а   — сопряжённый  -модуль к  , то есть как абелева группа он идентичен  , но накрывающее отображение   действует как  .

и он принимает значение в 1, по модулю равное единице:  .

С точки зрения определения, это выражение факта, что дополнение узла является гомологией окружности, порождённой накрывающим преобразованием  . Более обще, если   является 3-многообразием, таким, что  , оно имеет многочлен Александера  , определённый как порядковый идеал бесконечного циклического накрывающего пространства. В этом случае  , с точностью до знака, равно порядку подгруппы кручения  .

Известно, что любой лорановский многочлен с целыми коэффициентами, который симметричен и в точке 1 имеет по модулю значение 1, является многочленом Александера для узла[3].

Геометрическая важность многочленаПравить

Поскольку идеал Александера является главным,   тогда и только тогда, когда коммутант группы узла равен своему собственному коммутанту[en].

Для топологически срезанного узла многочлен Александера удовлетворяет условию Фокса-Милнора  , где   — некий другой лорановский многочлен с целыми коэффициентами.

Удвоенный род узла ограничен снизу степенью многочлена Александера.

Михаэль Фридман доказал, что узел на 3-сфере является топологически срезанным, то есть границами «локально плоского» топологического диска на 4-мерном шаре, если многочлен Александера узла тривиален[4].

Кауфман[5] описывает построение многочлена Александера через суммы состояний физических моделей. Обзор этого подхода, а также других связей с физикой даны в статье Кауфмана (Kauffman, 2001).

Имеются также другие связи с поверхностями и гладкой 4-мерной топологией. Например, при некоторых допущениях существует путь преобразования гладкого 4-многообразия[en] с помощью хирургии, которая состоит в удалении двумерного тора и замене его на пересечение дополнения узла с S1. Результатом будет гладкое 4-многообразие, гомеоморфное исходному, хотя инвариант Зайберга — Виттена[en] меняется (умножается на многочлен Александера узла)[6].

Известно, что узлы с симметрией имеют ограниченные полиномы Александера. См. раздел симметрии в работе Каваути[3]. Однако многочлен Александера может не заметить некоторые симметрии, такие как сильная обратимость.

Еслидополнение узла[en] расслоить над окружностью, то многочлен Александера узла монарен (коэффициенты при старшем и младшем членах равны  ). Пусть   является расслоением, где   — дополнение узла. Пусть   представляет монодромию, тогда  , где   порождённое отображением на гомологии.

Связь с сателлитными операциямиПравить

Если узел   является сателлитным узлом со спутником  , то есть существует вложение  , такое что  , где   является незаузлённым сплошным тором, то  . Здесь   — целое число, которое представляет   в  .

Пример: Для композиции узлов  . Если   является нескрученным двойным узлом Уайтхеда, то  .

Многочлен Александера — КонвеяПравить

Александер показал, что полином Александера удовлетворяет скейн-соотношению. Джон Конвей позже переоткрыл это в другой форме и показал, что скейн-соотношение вместе с выбором значения на тривиальном узле достаточно для определения многочлена. Версия Конвея является многочленом от z с целочисленными коэффициентами, обозначается   и называется многочленом Александера — Конвея (а также многочленом Конвея или многочленом Конвея — Александера).

Рассмотрим три диаграммы ориентированных зацеплений  .

Скейн-соотношения Конвея:

  •   (где O — диаграмма тривиального узла)
  •  

Связь со стандартным многочленом Александера задаётся соотношением  . Здесь   должен быть должным образом нормализован (умножением на  ) чтобы выполнялось скейн-соотношение  . Заметим, что это даёт многочлен Лорана от t1/2.

Связь с гомологией ХовановаПравить

В работах Ожвата и Сабо[7] и Расмуссена[8] многочлен Александера представлен как эйлерова характеристика комплекса, гомологии которого являются изотопическими инвариантами рассматриваемого узла  , поэтому теория гомологий Флоера[en] является категорификацией полинома Александера. Подробнее см. в статье «гомологии Хованова[en]»[9].

ПримечанияПравить

  1. Александер описывает скейн-соотношение в конце статьи под заголовком «разные теоремы», возможно, поэтому они и не были замечены. Джоан Бирман упоминает в своей статье «Новый взгляд на теорию узлов» (New points of view in knot theory, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 28 (1993), no. 2, 253—287), что Марк Кидвелл привлёк её внимание к отношению Александера в 1970.
  2. Fox, 1961.
  3. 1 2 Kawauchi, 1996.
  4. Freedman, Quinn, 1990.
  5. Kauffman, 1983.
  6. Fintushel and Stern (1997) — Knots, links, and 4-manifolds
  7. Ozsvath, Szabo, 2004.
  8. Rasmussen, 2003.
  9. Khovanov, 2006.

ЛитератураПравить

  • J. W. Alexander. Topological invariants of knots and links // Trans. Amer. Math. Soc.. — 1928. — Т. 30, вып. 2. — С. 275–306. — DOI:10.2307/1989123.
  • R. Crowell, R. Fox. Introduction to Knot Theory. — Ginn and Co. after 1977 Springer Verlag, 1963.
  • Colin C. Adams. The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Revised reprint of the 1994 original. — Providence, RI: American Mathematical Society, 2004. — ISBN 0-8218-3678-1. (accessible introduction utilizing a skein relation approach)
  • R. Fox. A quick trip through knot theory, In Topology of ThreeManifold // Proceedings of 1961 Topology Institute at Univ. of Georgia, edited by M.K.Fort. — Englewood Cliffs. N. J.: Prentice-Hall, 1961. — С. 120–167.
  • Michael H. Freedman, Frank Quinn. Topology of 4-manifolds. — Princeton, NJ: Princeton University Press, 1990. — Т. 39. — (Princeton Mathematical Series). — ISBN 0-691-08577-3.
  • Louis Kauffman. Formal Knot Theory. — Princeton University press, 1983.
  • Louis Kauffman. Knots and Physics. — World Scientific Publishing Companey, 2001.
  • Akio Kawauchi. A Survey of Knot Theory. — Birkhauser, 1996. (covers several different approaches, explains relations between different versions of the Alexander polynomial)
  • M. Khovanov. Link homology and categorification. — 2006. — arXiv:math/0605339.
  • Peter Ozsvath, Zoltan Szabo. Holomorphic disks and knot invariants // Adv. Math., no., 58--6. — 2004. — Т. 186, вып. 1. — С. 58–116. — DOI:10.1016/j.aim.2003.05.001. — Bibcode2002math......9056O. — arXiv:math/0209056.
  • J. Rasmussen. Floer homology and knot complements. — 2003. — С. 6378. — Bibcode2003math......6378R. — arXiv:math/0306378.
  • Dale Rolfsen. Knots and Links. — 2nd. — Berkeley, CA: Publish or Perish, 1990. — ISBN 0-914098-16-0. (explains classical approach using the Alexander invariant; knot and link table with Alexander polynomials)

СсылкиПравить