Многочленом Эрара для заданного многогранника в многомерном пространстве называется многочлен, значение которого в любой целой точке совпадает с количеством целых точек пространства (вообще говоря, точек любой решётки), находящихся внутри данного многогранника, увеличенного в раз.

Объём самого многогранника (с коэффициентом гомотетии ) равен старшему коэффициенту многочлена Эрара, что можно рассматривать как вариант многомерного обобщения теоремы Пика.

Названы в честь Эжена Эрара[en], который изучал их в 1960-х годах.

Определение править

Пусть   — многогранник с целыми вершинами, и   — его гомотетия с целым коэффициентом  . Обозначим через   число целых точек в  . Можно доказать, что число   выражается как многочлен от  ; этот многочлен и называется многочленом Эрара.

Примеры править

  •   для единичного целого  -мерного куба  .

Свойства править

  • (Взаимность Эрара — Макдональда) Число внутренних целых точек в   равно
     
где d — размерность P.
  • Любая валюация на целых многогранниках, инвариантная относительно целых сдвигов и  , выражается как линейная комбинация коэффициентов многочлена Эрара.[1]
  • Для любого  -мерного многогранника  , три коэффициента многочлена Эрара имеют простую интерпретацию
    • свободный член многочлена Эрара равен 1.
    • Главный коэффициент при   равен объёму многогранника.
    • Коэффициент при   равен половине суммы отношений площадей граней к определителю решётки, получаемой пересечением целочисленных точек с продолжением грани.
  • В частности, при   многочлен Эрара многоугольника равен
     
где   есть площадь многоугольника, а   — число целочисленных точек на его границе. Подставив  , получаем формулу Пика.

Примечания править

  1. Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Math. 358, 202-208.

Ссылки править