Многочлен узла

В теории узлов многочлен узла — это инвариант узла в виде многочлена, коэффициенты которого кодируют некоторые свойства данного узла.

Многие многочлены узла вычисляются с помощью скейн-соотношения, которые позволяют путём изменения типа пересечения свести узел к более простому.

История

Первый многочлен узла, многочлен Александера, представлен Джеймсом Александером в 1923 году, но другие многочлены узла найдены лишь почти 60 лет спустя.

В 1960-х годах Джон Конвей предложил скейн-соотношения для версии многочлена Александра, который обычно упоминается как многочлен Александера — Конвея. Важность скейн-соотношений не была оценена до 1980-х годов, когда Вон Джонс открыл многочлен Джонса. Это открытие привело к обнаружению ещё нескольких многочленов, таких как многочлен HOMFLY.

Вскоре после открытия Джонса Луис Кауффман заметил, что многочлен Джонса может быть вычислен в терминах модели сумм состояний, которая использует скобки Кауффмана, инвариант оснащённых узлов. Это открыло широкую дорогу для исследований в области теории зацепления узлов и статистической механике.

В конце 1980-х годов совершено два прорыва: Эдвард Виттен продемонстрировал, что многочлен Джонса и похожие инварианты этого типа описаны в теории Черна — Саймонса; Виктор Васильев и Михаил Гусаров создали теорию инвариантов конечного типа узлов. Известно, что коэффициенты упомянутых многочленов имеют конечный тип (возможно, после некоторой «подстановки переменных»).

В 2003 году показано, что многочлен Александера связан с гомологией Флоера. Градуированная эйлерова характеристика гомологии Хегора — Флоера Ожвата и Сабо является многочленом Александера.

Пример

Запись Александера — Бриггса	Многочлен Александера $\Delta (t)$	Многочлен Конвея$\nabla (z)$	многочлен Джонса $V(q)$	Многочлен HOMFLY$H(a,z)$
$0_{1}$ (Тривиальный узел)	$1$	$1$	$1$	$1$
$3_{1}$ (Трилистник)	$t-1+t^{-1}$	$z^{2}+1$	$q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}$	$-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}$
$4_{1}$ (Восьмёрка)	$-t+3-t^{-1}$	$-z^{2}+1$	$q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}$	$a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1$
$5_{1}$ (Лапчатка)	$t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}$	$z^{4}+3z^{2}+1$	$q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}$	$-a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}$
$-$ (Бабий узел)	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}$
$-$ (Прямой узел)	$\left(t-1+t^{-1}\right)^{2}$	$\left(z^{2}+1\right)^{2}$	$\left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)$	$\left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times$ $\left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)$

Запись Александера — Бриггса — это нотация, перечисляющая узлы по их числу пересечения, при этом обычно предполагается, что в списке находятся только простые узлы (Смотрите Список простых узлов).

Заметим, что многочлен Александера и многочлен Конвея НЕ МОГУТ различить левый и правый трилистники.

• 
  Левый трилистник.
• 
  Правый трилистник.

Не различают они также бабий узел и прямой узел, поскольку композиция узлов в $\mathbb {R} ^{3}$ даёт произведение многочленов узлов.

См. также

Полиномы узла

• Многочлен Александера
• Скобка Кауффмана
• Многочлен HOMFLY
• Полином Джонса
• Многочлен Кауфмана

Связанные темы

• Скейн-соотношение для формального определения многочлена Александера.

Литература

• Colin Adams. The Knot Book. — American Mathematical Society. — ISBN 0-8050-7380-9.
• W. B. R. Lickorish. An introduction to knot theory. — New York: Springer-Verlag, 1997. — Т. 175. — (Graduate Texts in Mathematics). — ISBN 0-387-98254-X.
• Peter S. Ozsváth, Zoltán Szabó. Heegaard Floer homology and alternating knots // Geom. Topol. — 2003. — Вып. 7.