Модальная логика

Мода́льная ло́гика (от лат. modus — способ, мера) — логика, в которой кроме стандартных логических связок, переменных и предикатов есть модальности (модальные операторы, другие названия: модальные понятия, модальные отношения, модальные характеристики, оценки).

Логическая теория является модальной, если[1]

  • она содержит хотя бы три модальных оператора
  • она является надстройкой над логикой ассерторических высказываний
  • квалификации, даваемые сильными её модальностями, несовместимы с квалификациями, даваемыми слабыми её модальностями
  • из простой истинности или ложности высказывания нельзя заключить, какую именно модальную характеристику должна иметь устанавливаемая этим высказыванием связь
  • из квалификации высказывания с помощью слабого модального понятия не следует ни то, что высказывание истинно, ни то, что оно ложно
  • если высказыванию приписана слабая модальная характеристики, то его отрицанию должна быть приписана она же

Модальные операторы используются для оценки истинности суждения (развёрнуто: для оценки истинности суждений об истинности какой-то ситуации или суждения). Можно сказать, что модальная логика — это изучение дедуктивного поведения выражений «необходимо, что», «возможно, что» и подобных (в узком смысле её и называют[2] «логикой необходимости и возможности»). Однако, термин «модальная логика» относится также и к другим оперирующим похожими понятиями системам (см. ниже разновидности модальностей). Модальные логики применимы в информатике и особенно — в философии, где суждения с модальностями применяются широко и вместе с тем запутанно.[3]

Перечисленные выше требования считаются необходимыми для любой модальной логики и первое из них соответствует самому определению таковой, а остальные предотвращают вырождение модальной логики в обычную логику высказываний (в которой нет квалификаций посредством модальных операторов). Однако, одна из простейших модальных логик — логика Крипке, предложенная Солом Крипке, называемая в его честь «логика К» — содержит только два модальных оператора (из обязательных только «необходимо», а второй — необязательный «возможно») и не является[3] достаточно сильной для адекватного учёта оператора «необходимо».

Модальные логики применяются[2] в философии языка, эпистемологии, метафизике и формальной семантике. При этом математический аппарат модальной логики оказался полезным во многих других областях, включая[4] теорию игр, верификацию программ, веб-дизайн, теорию множеств[5] и социальную эпистемологию[6]

Сравнение с формальной логикойПравить

Формальную логику можно упростить до цепочки истинное знание→процесс→выводы[источник не указан 628 дней].

Откуда брать истинное знание для формальных логик если только единичные истинные знания универсальны?..[источник не указан 628 дней]

Логика должна отвечать на реальные жизненные ситуации, а универсальных истин немного.[источник не указан 628 дней]

Модальная логика в широком смысле оперирует[источник не указан 628 дней]:

  • знаниями
  • предположениями (то, что не знаем)
  • вопросами (частично в логике знаний)
  • задачами (что сделать, чтобы получить знание)[уточнить]

То есть является более реальным/практичным расширением логики высказываний и логики первого порядка.[источник не указан 628 дней]

Примеры утвержденийПравить

Например, модальная логика способна оперировать утверждениями типа «Москва всегда была столицей России» или «Санкт-Петербург, когда-то в прошлом, был столицей России», которые невозможно или крайне сложно выразить в немодальном языке. Кроме временных и пространственных модальностей есть и другие, например «известно, что» (логика знания) или «можно доказать, что» (логика доказуемости).[источник не указан 628 дней]

Обычно для обозначения модального оператора используется   и двойственный[источник не указан 425 дней] к нему  :

 

Это отражает то, что сказать «Москва когда-то была столицей России» то же самое, что сказать «не верно, что Москва никогда не была столицей России».[источник не указан 628 дней]

МодальностиПравить

Модальности бывают разных типов. Модальность — это оценка, квалификация, которая фиксирует характер утверждения. Высказывания, фиксирующие только сам факт наличия или отсутствия какой-то ситуации называются ассерторическими. Высказывания, которые характеризуют кроме этого характер такого утверждения — то есть содержат модальности — называются модальными. Модальности располагают в ряд по силе[7]: самая сильная модальность — необходимо; более слабая модальность — это отсутствие модальности, то есть модальность ассерторического высказывания; самая слабая модальность — модальность возможности. Модальность «Невозможно Б» определяется как «Необходимо, что неверно Б» (важно, что хотя в разговорном русском языке её название выглядит похоже на отрицание возможности, в определении не фигурирует отрицание возможности — модальная логика вообще не требует задания модальности «возможно»).

  • Модальные понятия вне контекста задаются по схеме
    • сильный положительный (утвердительный) оператор, иногда обозначают как V (вне контекста, чтобы вид высказываний сохранялся независимо от сорта модальной логики)
    • сильный отрицательный (запрещающий) оператор, Y
    • слабый модальный оператор, W
    • дополнительный слабый оператор (U), определяемый посредством предыдущих (обязательных) операторов

При таком способе задания, модальные операторы играют роль трёх-четырёхзначных функций оценки истинности или детерминированности. Альтернативно[4], в семантике Крипке, модальная логика может быть задана через 2 модальных оператора, которые играют роль аналогичную дополнительным кванторам ("необходимо" подобно квантору "любой", а "возможно" подобно квантору "существует"). Далее следует перечисление модальностей в порядке соответствия силы модальности (в качестве базового списка можно рассматривать логические алетические модальности; первые три модальности в каждом пункте задаются обязательно, модальность «возможно» не всегда возможно задать, она не всегда задаётся и, в отличие от первых трёх модальностей, её нет в списке обязательных модальностей для того, чтобы логика считалась логикой модальностей и функционировала как таковая)

  • Алетические (от др.-греч. ἀλήθεια — истина) модальности:[1]
    • Логические:
      • необходимо, V
      • случайно, W
      • невозможно, Y
      • возможно, U
    • Онтологические (также называются фактическими, эмпирическими, физическими или каузальными):
      •   — необходимо, V
      •   — случайно, W
      • невозможно, Y
      •   — возможно, U

Алетические модальности оценивают истинность утверждений об истинности ситуаций с позиции либо законов логики (логические алетические модальности), либо известных фактов и законов природы (онтологические алетические модальности). Иначе можно сказать, что они оценивают, насколько описываемая ситуация детерминирована некоторым множеством законов и фактов.[7] Например, утверждение «необходимо, что всякое животное смертно» является истинным, если интерпретировать «необходимо» как онтологическую модальность (так как накопленные научные факты указывают на это) — но оно же является ложным, если интерпретировать «необходимо» как логическую модальность (так как выражает высказывание «для всякого х верно, что если х имеет свойство А, то х имеет свойство Б», не имеющее форму общезначимого высказывания).[7] Другой пример[7] — высказывание «возможно, что существует вечный двигатель». Если модальность интерпретировать как логическую, то высказывание истинно (так как выражает лишь, что существует х, обладающий каким-то свойством); но если модальность интерпретировать как онтологическую, то высказывание ложно (так как противоречит известным законам физики и фактам, на основании которых те установлены).

  • Эпистемические[1]
    • Касающиеся знаний[8]
      • Доказуемо (или доказано)
      • Неразрешимо (непроверяемо)
      • Опровержимо (или опровергнуто)
    • Касающиеся убеждений (доксастические)
      • Полагает (убеждён)
      • Сомневается
      • Отвергает
      • Допускает, U

Разница между оценками знаний и убеждений в данном случае заключается в том, что утверждение «А полагает, что Б» фиксирует лишь мнение А — в то время, как утверждение «А знает, что Б» фиксирует следующую ситуацию: «А полагает, что Б и Б имеет место в действительности».[7]

  • Деонтические (нормативно-правовые)[1]
    • Обязательно, V, O
    • Нормативно-безразлично, W
    • Запрещено, Y, F
    • Разрешено, U, P
  • Аксиологические (др.-греч. ἀξίᾱ — ценность)[1]:
    • Абсолютные
      • хорошо
      • нейтрально (аксиологически безразлично)
      • плохо
    • Сравнительные
      • лучше
      • равноценно
      • хуже

Аксиологическую логику разработал философ А. А. Ивин.

  • Временные[1]:
    • Абсолютные
      • всегда
      • только иногда
      • никогда
    • Сравнительные
      • раньше
      • одновременно
      • позже («а затем», «потом»)

Кроме этого могут быть введены и другие модальности[7]: «всегда будет» (ситуация будет иметь место в каждый момент будущего), «было» (ситуация имела место когда-то в прошлом) и пр. Например[3], можно задать:

      • Всегда было, G
      • Было, H
      • Всегда будет, F
      • Будет, P

Кроме этого, модальности делятся по нескольким другим признакам.[7]

По количеству местности модальности (так же, как говорят о местности пропозициональных связок)

  • Абсолютные модальности — это одноместные (унарные) модальности, которые образуют модальное высказывание из одного высказывания
  • Относительные модальности — это модальности, местность которых больше 1 (например, «А позже Б», «Б лучше С» и т. п.)

По тому, оценивается ли ситуация с позиции определённого субъекта

  • Личностные модальности
  • Безличностные модальности

По тому, какую часть высказывания характеризует модальный оператор

  • Внутренние модальности (de re, о вещи, о предмете) — оценивают присущесть свойств предметам в высказывании
  • Внешние модальности (de dicto, о сказанном, о речи) — оценивают характер самого высказывания

Например[7], модус силлогистики (Barbara)

Всякий А есть Б
Всякий С есть А
Следовательно, всякий С есть Б

Является верным, если рассматривать его как содержащий внутреннюю модальность «логически необходимо» — но он же является логически ложным, если его рассматривать как содержащий внешнюю модальность «логически необходимо». Верное утверждение:

Всякий А необходимо есть Б
Всякий С есть А
Следовательно, всякий С необходимо есть Б

Ложное утверждение:

Необходимо, что всякий А есть Б
Всякий С есть А
Следовательно, необходимо, что всякий С есть Б

Существует два правила[7], которые необходимо добавить к силлогистике для проверки силлогизмов с модальностью de dicto:

  • модальность заключения не может быть сильнее, чем в слабейшей по модальности посылке и
  • если одна из посылок проблематическая, то другая должна быть аподиктической

Аподиктическая — «о необходимо присущем» или «о необходимо не присущем»; проблематическая — «о возможно присущем» или «о возможно не присущем».

Логика знанийПравить

Оперирует понятиями «знает», «полагает».

Деонтическая логикаПравить

Оперирует понятиями: обязательство, разрешение, норма.[источник не указан 628 дней]

«Ты обязан это сделать» («Твой долг это сделать») либо «Ты можешь это сделать»[источник не указан 628 дней]

Эти понятия пытались внедрить достаточно давно, но значительный результат был только у Георга фон Вригта в Deontic Logic, Mind, New Series, Vol. 60, No. 237. (Jan., 1951), pp. 1-15.[9]

Статья 2007 года о реализации деонтической логики. A Formal Language for Electronic Contracts[10] использующий µ-calculus и реализацию mu-cke от A. Biere[11]

СемантикаПравить

В математической логике и информатике наиболее распространённой является семантика Крипке, также существуют алгебраическая семантика, топологическая семантика и ряд других.[источник не указан 628 дней]

СинтаксисПравить

Модальная формула определяется рекурсивно как слово в алфавите состоящем из счетного множества пропозициональных переменных  , классических связок  , скобок  ,   и модального оператора  . А именно, формулой является[источник не указан 628 дней]

  1.   для любого  .
  2.  .
  3.  , если   и   — формулы.
  4.  , если   — формула.

Нормальной модальной логикой называется множество модальных формул, содержащее все классические тавтологии, аксиому нормальности[источник не указан 628 дней]

 

и замкнутое относительно правил Modus ponens  , подстановки   и введение модальности  .

Минимальная нормальная модальная логика обозначается  .

ЗамечанияПравить

  • теория двойников обеспечивает перевод языка квантифицированной модальной логики в первопорядковую теорию (но не наоборот) без каких-либо интенсиональных операторов типа «возможно» и «необходимо»[12][источник не указан 628 дней]

ПримечанияПравить

  1. 1 2 3 4 5 6 Ивин А. А. «Логика норм». — Изд-во МГУ. — 1973
  2. 1 2 Sider T. (2010). Logic for philosophy. Oxford University Press
  3. 1 2 3 Modal Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
  4. 1 2 van Benthem, Johan. Modal Logic for Open Minds. — CSLI, 2010. Архивная копия от 19 февраля 2020 на Wayback Machine
  5. Hamkins, Joel (2012). “The set-theoretic multiverse”. The Review of Symbolic Logic. 5 (3): 416—449. arXiv:1108.4223. DOI:10.1017/S1755020311000359.
  6. Baltag, Alexandru; Christoff, Zoe; Rendsvig, Rasmus; Smets, Sonja (2019). “Dynamic Epistemic Logics of Diffusion and Prediction in Social Networks”. Studia Logica. 107 (3): 489—531. DOI:10.1007/s11225-018-9804-x.
  7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Бочаров В.А, Маркин В. И. «Введение в логику. Университетский курс». — М.: ИД «ФОРУМ»:ИНФРА-М. — 2008-
  8. По Ивину А.А («Логика норм», 1973), четвёртая модальность — эквивалентная по статусу «возможно» — для знаний не задана; альтернативно, модальности «возможно P» соответствует «только иногда имеет место P» (тот же источник)
  9. http://links.jstor.org/sici?sici=0026-4423%28195101%292%3A60%3A237%3C1%3ADL%3E2.0.CO%3B2-C
  10. doi:10.1007/978-3-540-72952-5_11
  11. A. Biere. mu-cke — efficient mu-calculus model checking. In O. Grumberg, editor, International Conference on Computer-Aided Verification (CAV’97), number 1254 in Lecture Notes in Computer Science, pages 468—471. © Springer-Verlag, 1997
  12. Карпенко Александр Степанович в Вопросы философии 2016 № 12

ЛитератураПравить

  • Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic.— Oxford University Press, 1997. (на английском)
  • Blackburn P., de Rijke M., Venema Y. Modal Logic.— CambridgeUniversity Press, 2002.
  • Кондаков Н. И. Логический словарь-справочник. — М: Наука, 1976. — 720с.
  • Фейс Р., Модальная логика.— Главная редакция физ-мат литературы изд-ва «Наука», М. 1974.
  • Шкатов Д. П., Модальная логика и модальные фрагменты классической логики.— Институт философии РАН, 2008. ISBN 978-5-9540-0128-0 (см. описание книги: в Озоне)

См. такжеПравить

СсылкиПравить