Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера

Модифицированный потенциал Пёшль — Теллера — функция потенциальной энергии элетростатического поля, предложенная физиками Гертой Пёшль и Эдвардом Теллером как приближение для энергии двухатомной молекулы, альтернативный потенциалу Морзе

Форма модифицированного потенциала Пёшль-Теллера

$U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax$

Глубина потенциальной ямы $U_{0}$ обычно параметризуется в виде:

$U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)$.

Решение уравнения Шрёдингера с потенциальной энергией в форме модифицированной ямы Пёшль — Теллера представляется при помощи функций Лежандра.

Уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера

Стационарное уравнение Шрёдингера с модифицированным потенциалом Пёшль — Теллера имеет вид:

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).$

Если ввести обозначение $k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2}}}$, то оно примет вид:

$\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\right)\Psi (x)=0.$

Решение через гипергеометрические функции

После замены переменных

$y=\mathrm {ch^{2}} ax$

получим

$y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.$

Если подставить решение в виде

$\Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)$,

то уравнение приводится к гипергеометрическому виду

$y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v'(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0$

Обозначая

$a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\left(\lambda -i{\frac {k}{a}}\right)$

общее решение примет вид

$v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2}};1-y\right)+iB(1-y)^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};1-y\right)$

В качестве фундаментальной системы решений исходного уравнения удобно выбрать чётное и нечётное решение, то есть собственные функции оператора чётности:

${\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),$

Чётное решение соответствует $A=1$ и $B=0$

$\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2}};-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)$

Нечётное решение соответствует $A=0$ и $B=1$

$\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)$

Энергия связанных состояний

Для удобства обозначим $k=i\kappa$, тогда энергия запишется как

$E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.$

Параметры гипергеометрических функций примут вид

$a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\left(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\right).$

Чтобы получить нормируемые функции необходимо исключить члены асимптотик неограниченные на бесконечности, для нечётных функций это условие примет вид

${\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k$,

для чётных

${\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k$

Объединяя эти условия, получим уровни энергии:

$E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda -1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}$

Коэффициенты отражения и прохождения

Коэффициенты отражения и прохождения имеют вид:

$R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},$

где введено обозначение

$p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a}}}{\sin \pi \lambda }}.$

При $\lambda \in \mathbb {Z} _{+}$ получим, что $p=\infty$ и

$R=0,\qquad T=1.$

Таким образом, при $\lambda \in \mathbb {N}$ модифицированный потенциал Пёшль — Теллера становится безотражательным.

Решение через функции Лежандра

Заменой $u=\mathrm {th} ax$ уравнение Шрёдингера может быть сведено к уравнению

$((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\right)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.$

Решение этого уравнения может быть представлено через функции Лежандра

$\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu }(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu }(u),$

где $\mu =ik/a$.

См. также

• Потенциал Пёшль — Теллера

Литература

• З. Флюгге. Задачи по квантовой механике. — Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1.

• I. G. Kaplan. Intermolecular interactions. — 2006.

• Paul Harrison. Quantum wells, wires, and dots. — 2005.