Модулярная функция

Модулярная функция — мероморфная функция, определённая на верхней комплексной полуплоскости (то есть на множестве ), являющаяся инвариантной относительно превращений модулярной группы или некоторой её подгруппы и удовлетворяющая условиям голоморфности в параболических точках. Модулярные функции и обобщающие их модулярные формы[⇨] широко используются в теории чисел, а также в алгебраической топологии и теории струн.

Формально, модулярной функцией называется мероморфная функция, удовлетворяющая условию:

для каждой матрицы:

,

принадлежащей модулярной группе .

Модулярная формаПравить

Модулярной формой веса   для группы   называется голоморфная функция  , удовлетворяющая условию:

  для любых   и  

и голоморфная во всех параболических точках[1][2].

Пусть   — верхняя комплексная полуплоскость:  . Группа матриц   для натурального числа   определяется как:

 .

Группа   действует на   с помощью дробно-линейных преобразований   где   и  .[3]

Свойства модулярных формПравить

Модулярные формы нечётного веса равны нулю. Модулярной формой веса   является (при  ) ряд Эйзенштейна:

 ,

где  .

Пусть

 

— модулярные инварианты,   — модулярный дискриминант. Определив следующим образом основной модулярный инвариант (j-инвариант):

 ,

выполняются равенства:

 ,
 .

Также данные функции удовлетворяют соответствующие свойства голоморфности. То есть   — модулярная форма веса 4,   — модулярная форма веса 12. Соответственно   — модулярная форма веса 12, а   — модулярная функция. Данные функции имеют важное применение в теории эллиптических функций и эллиптических кривых.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Сарнак П. Модулярные формы и их приложения. — М.: ФАЗИС, 1998. — ISBN 5-70364029-4.
  • Tom M. Apostol. Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory. — New York: Springer-Verlag, 1990. — ISBN 0-387-97127-0.
  • Robert A. Rankin. Modular forms and functions. — Cambridge: Cambridge University Press, 1977. — ISBN 0-521-21212-X.
  • В.В. Прасолов, Ю.П. Соловьев. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. — Факториал, 1997. — 288 с. — ISBN 5-88688-018-6.

СсылкиПравить