Открыть главное меню

Моме́нт случа́йной величины́ — числовая характеристика распределения данной случайной величины.

Содержание

ОпределенияПравить

Если дана случайная величина   определённая на некотором вероятностном пространстве, то:

  •  нача́льным моментом случайной величины   где   называется величина
 
если математическое ожидание   в правой части этого равенства определено;
  •  центра́льным моментом случайной величины   называется величина
 
  •  абсолю́тным и  центральным абсолютным моментами случайной величины   называется соответственно величины
  и  
  •  факториальным моментом случайной величины   называется величина
 
если математическое ожидание в правой части этого равенства определено.[1]

Абсолютные моменты могут быть определены не только для целых, но и для любых положительных действительных чисел   в случае, если соответствующие интегралы сходятся.

ЗамечанияПравить

  • Если определены моменты  -го порядка, то определены и все моменты низших порядков  
  • В силу линейности математического ожидания центральные моменты могут быть выражены через начальные:
     .

Геометрический смысл некоторых моментовПравить

  •   равняется математическому ожиданию случайной величины и показывает относительное расположение распределения на числовой прямой.
  •   равняется дисперсии распределения   и показывает разброс распределения вокруг среднего значения.
  •  , будучи соответствующим образом нормализован, является числовой характеристикой симметрии распределения. Более точно, выражение
 
называется коэффициентом асимметрии.
  •   показывает, насколько ярко выражена вершина распределения в окрестности среднего. Величина
 
называется коэффициентом эксцесса распределения  

Вычисление моментовПравить

 

если  

а для дискретного распределения с функцией вероятности  
 

если  

 
  • Если распределение таково, что для него в некоторой окрестности нуля определена производящая функция моментов   то моменты могут быть вычислены по следующей формуле:
 

ОбобщенияПравить

Можно также рассматривать нецелые значения  . Момент, рассматриваемый как функция от аргумента  , называется преобразованием Меллина.

Можно рассматривать моменты многомерной случайной величины. Тогда первый момент будет вектором той же размерности, второй — тензором второго ранга (см. матрица ковариации) над пространством той же размерности (хотя можно рассматривать и след этой матрицы, дающий скалярное обобщение дисперсии). И т. д.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Г. Крамер. Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.