Момент (математика)

Моме́нт поря́дка системы материальных точек относительно начала отсчёта (лат. momentumдвижущая сила, толчок, побудительное начало, от moveoдвигаю; англ. moment) — понятие механики и теории вероятностей, сумма

,

где массы материальных точек, которые расположены на одной прямой; абсциссы этих точек относительно заданного начала отсчёта на прямой[1].

Статический момент — момент первого порядка[1][2][3].

Момент инерции — момент второго порядка[1].

Абсолютный момент — момент, в формуле которого вместо абсцисс подставлены их абсолютные значения[1].

Центр, или центр тяжести, системы масс — точка прямой с абсциссой, заданной следующей формулой[1][4][5]:

.

Центральный момент — момент, который вычислен относительно центра[1].

Любая система масс обладает следующими свойствами[1]:

  • центральный статистический момент равен нулю;
  • центральный момент инерции наименьший из всех моментов инерции.

Неравенство Чебышёва. Сумма масс точек, находящихся от произвольной точки на расстоянии, большем , не превышает момента инерции системы точек относительно точки , разделённого на [1].

Недискретное распределение массы

править

Момент порядка   непрерывного распределения массы относительно начала отсчёта — абсолютно сходящийся интеграл

 ,

где  плотность распределения массы[англ.]. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу[1].

Еси же масса произвольно распределена, то суммы в выражениях для момента заменяются интегралами Стилтьеса. Именно таким путём и возник впервые интеграл Стилтьеса. Все упомянутые определения и теоремы при этом сохраняют силу[1].

Теория вероятностей

править

В теории вероятностей абсциссы заменяются различными возможными значениями случайной величины, а массы — соответствующими вероятностями, причём сумма всех вероятностей (масс) равна 1[1]:

  • математическое ожидание данной случайной величины — момент первого порядка, который в теории вероятностей есть абсцисса центра (сумма вероятностей 1);
  • дисперсия данной случайной величины — центральный момент второго порядка.

Неравенство Чебышёва чрезвычайно важно в теории вероятностей. В математической статистике моменты служат обычно основными статистическими сводными характеристиками распределений[1].

Статические моменты плоской кривой

править

Определения

править

Статические моменты точки   относительно осей   и   — произведения   и   соответственно, где  масса материальной точки  , имеющей координаты   и   на плоскости[2].

Рассмотрим спрямляемую кривую  , где   — переменная длина дуги. Кривая   имеет массу, причём масса её дуги прямо пропорциональна длине дуги, то есть масса дуги длиной   равна  , где   — некоторая постоянная[2].

Линейная плотность кривой   — коэффициент пропорциональности  , где дуга длиной   имеет массу  , то есть плотность кривой есть массе длины её дуги, которая приходится на единицу длины этой дуги[2].

Однородная кривая — кривая с линейной плотностью[2].

Пусть для простоты в дальнейшем  , то есть дуга длиной   имеет массу  , в частности, масса всей кривой   равна  [2].

Момент кривой относительно оси — момент   ( ) кривой   относительно оси   ( ) равен следующей величине[4]:

   .

Центр тяжести кривой — точка плоскости   такая, что если в ней находится материальная точка с массой   всей кривой  , то тогда статический момент этой точки относительно любой координатной оси равен статическому моменту ей кривой относительно той же оси[4].

По определению получаем, что

   

то есть имеем следующие формулы[4]:

   

Теорема Гульдина

править

Теорема Гульдина. Площадь поверхности вращения кривой около некоторой не пересекающей её оси равна произведению длины этой кривой и длины окружности, которая описана центром тяжести этой кривой[6].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести кривой (непрерывно дифференцируемой без особых точек)

 

с формулой площади поверхности вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

 ,

имеем интересное соотношение

 ,

которое и доказывает теорему[6].

Если у кривой известно положение центра тяжести, то тогда по теорема Гульдина легко находится площадь поверхности вращения этой кривой[6].

Примеры

править

Площадь поверхности вращения окружности

править

Найдём площадь поверхности, полученной вращением окружности

   

не пересекающей ось  , вокруг этой оси, то есть площадь поверхности тора. Поскольку центр окружности совпадает с её центром тяжести, имеем[6]:

 ,

Центр тяжести цепной линии

править

Найдём центр тяжести цепной линии, выраженной следующей формулой[6]:

   

Цепная линия симметрична относительно оси  , поэтому момент

 ,

что легко доказать: выберем за начало отсчёта дуг пересечение цепной линии с осью  , и пусть   — длина цепной линии, тогда

 ,

так как  нечётная функция. И поскольку  , то получаем первую координату центра тяжести[6]:

 .

Рассмотрим выражение для следующего момента

 ,

причём

 ,

где   — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси  , то есть площадь поверхности катеноида. Но сама по себе площадь поверхности катеноида  , следовательно, получаем следующее уравнение[6]:

 .

С другой стороны, назначенную длину цепной линии   легко определить по формуле

 
 ,

откуда вытекает следующая формула для второй координаты центра тяжести[7]:

 .

Статические моменты плоской фигуры

править

Определения

править
 
Статические моменты плоской фигуры

Пусть дана некоторая плоская фигура   (см. рис.) — криволинейную трапецию, которая ограничена сверху кривой   с явным уравнением неотрицательной функции  , и по этой фигуре равномерно распределена масса с постоянной поверхностной плотностью  . Без умаления общности положим  , то есть масса произвольной части фигуры равна её площади, что всегда подразумевается, когда рассматривают статические моменты (или центр тяжести) плоской фигуры[8].

Вычислим статические моменты   и   криволинейной трапеции относительно осей координат. Рассмотрим произвольный элемент фигуры как бесконечно узкую вертикальную полоску (см. рис.). Аппроксимировав эту полоску прямоугольником, получаем её массу (и площадь)  . Пусть масса полоски сосредоточена в её центре тяжести, то есть в центре прямоугольника, что не меняет величины статических моментов. Координаты этого центра тяжести  , поскольку   есть бесконечно малая второго порядка. Поэтому получаем следующие элементарные статические моменты[9]:

   

После суммирования этих элементарных моментов получаем статистические моменты

   

где  [9].

Так же как и в случае статистических моментов кривой, теперь легко получить формулы для координат   и   центра тяжести плоской фигуры. Пусть   — площадь (и масса) фигуры, тогда по основному свойству центра тяжести

   

откуда получаем следующие координаты центра тяжести[10]:

   

Теорема Гульдина

править

Вторая теорема Гульдина. Объём тела вращения плоской фигуры около некоторой не пересекающей её оси равен произведению площади этой фигуры и длины окружности, которая описана центром тяжести этой фигуры[11].

Доказательство. Сравним формулу ординаты центра тяжести плоской фигуры

 

с формулой тела вращения этой же кривой вокруг некоторой оси

 ,

имеем интересное соотношение

 ,

которое и доказывает теорему[11].

Эти формулы справедливы и для такой фигуры, которая ограничена снизу и сверху кривыми соответственно

   

в этом случае имеем следующие формулы статистических моментов[11][12]:

   

Преобразование формул для координат центра тяжести очевидны[11][13]:

   

Поскольку площадь такой фигуры есть

 ,

то вторая теорема Гульдина верна и здесь[11][13].

Примеры

править

Статические моменты и центр тяжести фигуры, ограниченной параболой

править

Найдём оба статических момента   и  , а также обе координаты   и   центра тяжести плоской фигуры — криволинейной трапеции, которая ограничена сверху параболой  , снизу осью   и сбоку прямой, параллельной оси ординат и соответствующей абсциссе  . Исходя из уравнения параболы   и формул

   

получаем следующие выражения для статистических моментов[11]:

 
 

Вычислим площадь криволинейной трапеции[11]:

 

Теперь по формулам

   

находим следующие выражения для координат центра тяжести[14]:

   

По второй теореме Гульдина найдём объём тела вращения данной фигуры вокруг прямой, которой принадлежит правая граница фигуры[14]:

 

Центр тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды и осью абсцисс

править

Найдём координаты   и   центра тяжести фигуры, ограниченной аркой циклоиды

   

и осью абсцисс. Поскольку площадь и объём тела вращения данной фигуры около оси абсцисс соответственно равны

   

из соображений симметрии и по второй теореме Гульдина соответственно получаем[14]:

   

Проблема моментов

править

Проблема моментов — проблема математического анализа по определению свойств произвольной функции   по известным свойствам последовательности её моментов[1]:

 .

Эту задачу впервые рассмотрел в 1874 году П. Л. Чебышёв в контексте исследований по теории вероятностей (при попытке доказать центральную предельную теорему). В последствии при рассмотрении этой задачи возникли новые мощные методы математического анализа[1].

Примечания

править
  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Момент, 1974.
  2. 1 2 3 4 5 6 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 508.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 384.
  4. 1 2 3 4 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 509.
  5. Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 206. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой, с. 385.
  6. 1 2 3 4 5 6 7 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 510.
  7. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. I, 1981, 32.6. Вычисление статических моментов и центра тяжести кривой, с. 511.
  8. Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 386.
  9. 1 2 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387.
  10. Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 387—388.
  11. 1 2 3 4 5 6 7 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 388.
  12. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 231.
  13. 1 2 Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, т. II, 1981, 49.2. Физические приложения кратных интегралов, с. 232.
  14. 1 2 3 Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа, т. I, 1968, 207. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры, с. 389.

Источники

править