Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных^[1]. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), его степень равняется нулю, за исключением случая нулевого одночлена, степень которого не определена^[2] (часть источников приписывает нулевому одночлену степень $-\infty$ )^[3].

Примеры:

$-7$
$x^{2}$
$c^{3}xy$
$-a$
$5ax^{3}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене $x^{2}$ ), подразумевается коэффициент $1$ или $-1$ , в зависимости от знака перед одночленом^[2].

Не являются одночленами выражения: $a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.$

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных^[1].

Пример: $3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов^[1].

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам^[4].

См. также

Многочлен

Примечания

↑ ¹ ² ³ Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.
↑ ¹ ² Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии.
↑ Ленг, 1968.
↑ Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.

Литература

Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.
Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 138—139. — 564 с.

Ссылки

Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.

[GM-1] ¹ ² ³ Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.

[БСЭ-2] ¹ ² Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии.

[_edb51a94abcee1a1-3] Ленг, 1968.

[4] Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.

[1]

[2]

[3]

[4]