Мономорфизм

Мономорфи́змморфизм категории , такой что из всякого равенства следует, что (другими словами, на можно сокращать слева). Часто мономорфизм из в обозначают .

Двойственным к понятию мономорфизм является понятие эпиморфизма. (При этом чтобы морфизм был изоморфизмом, в общем случае недостаточно биморфности — одновременной мономорфности и эпиморфности.)

Мономорфизмы представляют собой категорное обобщение понятия инъективной функции. Иногда эти определения совпадают, но в общем случае мономорфизм не соответствует инъективной функции.

Связь с обратимостьюПравить

Морфизмы, имеющие левый обратный, всегда являются мономорфизмами. Действительно, если   — левый обратный к   (то есть  ), то:

 .

В то же время не все мономорфизмы имеют левый обратный. Например, в категории групп  , если   является подгруппой  , то вложение   — всегда мономорфизм, однако левый обратный морфизм   существует, только если у   есть нормальная дополнительная группа (так как ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа). Морфизм   является мономорфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение  , определённое как   для морфизмов  , инъективно для всех Z.

Связь с инъективностьюПравить

Не в каждой категории можно говорить о том, что морфизму соответствует какая-то функция на множествах, однако это так в конкретных категориях. В любой такой категории «инъективный» морфизм будет мономорфизмом. В категории множеств верно и обратное утверждение, мономорфизмы там в точности соответствуют инъективным функциям. Это верно во многих других естественно возникающих в математике категориях благодаря существованию свободного объекта, порожденного одним элементом. Например, это верно в любой абелевой категории.

Однако это верно не всегда. Например, в категории   делимых (абелевых) групп с обычными гомоморфизмами групп существуют неинъективные мономорфизмы, например, отображение факторизации  .

Типы мономорфизмовПравить

Мономорфизм называется регулярным, если он является уравнителем некоторой пары параллельных морфизмов.

Экстремальный мономорфизм — это мономорфизм, который нельзя нетривиальным образом пронести через эпиморфизм, иными словами, если экстремальный мономорфизм представлен в виде   с эпиморфизмом  , то   — изоморфизм.

ТерминологияПравить

Пара терминов «мономорфизм» и «эпиморфизм» впервые начала использоваться Бурбаки, причем они использовали «мономорфизм» как сокращение для фразы «инъективная функция». Сегодня практически все математики, занимающиеся теорией категорий, уверены, что правило сокращения, приведенное выше, — это правильное обобщение понятия инъективной функции. Маклейн попытался провести различие между мономорфизмами — морфизмами в конкретной категории, которым соответствует инъективная функция, и англ. monic maps — мономорфизмами в категорном смысле, однако это так и не вошло во всеобщее употребление.

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.