Мультивектор

Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).

Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.

2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.

n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.

Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.

k-вектор дуален к k-форме.

Свойства:

  • Любая линейно независимая система векторов из определяет ненулевой k-вектор;
  • Линейно независимые системы и порождают одно и то же подпространство в в том и только в том случае, когда
        ;
  • Для любого ненулевого поливектора его аннулятор есть подпространство размерности , причём поливектор разложим тогда и только тогда, когда ;
  • Разложимые k-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
  • Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
  • Бивектор разложим тогда и только тогда, когда ;
  • Если фиксировать ненулевой -вектор , то возникает естественный изоморфизм:
    такой, что для всех .

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить