Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндексаПравить

n-мерный мультииндекс — это вектор

 

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов   и вектора   вводятся:

  • Покомпонентное сложение и вычитание
 
 
  • Абсолютное значение как сумма компонентов
 
 
 
 
  где  

Некоторые приложенияПравить

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициентыПравить

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

 

Формула ЛейбницаПравить

Для гладких функций f и g

 

Разложение в ряд ТейлораПравить

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

 

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

 

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

 

Оператор дифференцированияПравить

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

 

Интегрирование по частямПравить

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области   имеем:

 

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теоремеПравить

Если   — это мультииндексы и  , то

 

ДоказательствоПравить

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

 

Положим  ,   и  . Тогда

 

Здесь каждое дифференцирование   сводится к соответствующей обыкновенной производной  , так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция   зависит только от  . Поэтому из уравнения (1) следует, что   исчезает как только αi > βi для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

 

для каждого  . 

СсылкиПравить

  • Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.