Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса

n-мерный мультииндекс — это вектор

$\alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}),$

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ и вектора $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ вводятся:

• Покомпонентное сложение и вычитание

$\alpha \pm \beta =(\alpha _{1}\pm \beta _{1},\,\alpha _{2}\pm \beta _{2},\ldots ,\,\alpha _{n}\pm \beta _{n})$

• Частичная упорядоченность

$\alpha \leq \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad \forall \,i\in \{1,\ldots ,n\}$

• Абсолютное значение как сумма компонентов

$|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}$

• Факториал

$\alpha !=\alpha _{1}!\cdot \alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!$

• Биномиальный коэффициент

${\alpha \choose \beta }={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\cdots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}$

• Возведение в степень

$x^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}$

• Старшая частная производная

$\partial ^{\alpha }=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}$ где $\partial _{i}^{\alpha _{i}}:=\partial ^{\alpha _{i}}/\partial x_{i}^{\alpha _{i}}$

Некоторые приложения

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\biggr )}^{k}=\sum _{|\alpha |=k}{\frac {k!}{\alpha !}}\,x^{\alpha }$

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

$\partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\nu \leq \alpha }{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }f\,\partial ^{\alpha -\nu }g.$

Разложение в ряд Тейлора

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

$f(x+h)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} _{0}^{n}}^{}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}.$

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

$f(x+h)=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(x)}{\alpha !}}h^{\alpha }}+R_{n}(x,h),$

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

$R_{n}(x,h)=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {h^{\alpha }}{\alpha !}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(x+th)\,dt.$

Оператор дифференцирования

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

$P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}.$

Интегрирование по частям

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ имеем:

$\int _{\Omega }{}{u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }^{}{(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}.$

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме

Если $\alpha ,\beta \in \mathbb {N} _{0}^{n}$ — это мультииндексы и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$, то

$\partial ^{\alpha }x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}$

Доказательство

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

${\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}x^{\beta }={\begin{cases}{\frac {\beta !}{(\beta -\alpha )!}}x^{\beta -\alpha }&{\hbox{if}}\,\,\alpha \leq \beta ,\\0&{\hbox{otherwise.}}\end{cases}}\qquad (1)$

Положим $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$, $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$ и $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$. Тогда

${\begin{aligned}\partial ^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n}}\\&={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

Здесь каждое дифференцирование $\partial /\partial x_{i}$ сводится к соответствующей обыкновенной производной $d/dx_{i}$, так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция $x_{i}^{\beta _{i}}$ зависит только от $x_{i}$. Поэтому из уравнения (1) следует, что $\partial ^{\alpha }x^{\beta }$ исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

${\frac {d^{\alpha _{i}}}{dx_{i}^{\alpha _{i}}}}x_{i}^{\beta _{i}}={\frac {\beta _{i}!}{(\beta _{i}-\alpha _{i})!}}x_{i}^{\beta _{i}-\alpha _{i}}$

для каждого $i$.$\Box$

Ссылки

• Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.