Мультипликативная функция

(перенаправлено с «Мультипликативность»)

Мультипликативная функция в теории чиселарифметическая функция , такая, что для любых взаимно простых чисел и выполнено:

и

.

При выполнении первого условия, требование равносильно тому, что функция не равна тождественно нулю.

Функции , для которых условие мультипликативности выполнено для всех натуральных , называются вполне мультипликативными. Функция вполне мультипликативна тогда и только тогда, когда для любых натуральных выполняется соотношение .

Мультипликативная функция называется сильно мультипликативной, если:

для всех простых и всех натуральных .

Примеры:

ПостроениеПравить

Из основной теоремы арифметики следует, что можно произвольно задать значения мультипликативной функции   на простых числах и их степенях, а также определить   все прочие значения полученной функции определяются из свойства мультипликативности.

Произведение любых мультипликативных функций также является мультипликативной функцией.

Если   — мультипликативная функция, то функция

 

также будет мультипликативной. Обратно, если функция  , определённая этим соотношением является мультипликативной, то и исходная функция   также мультипликативна.

Более того, если   и   — мультипликативные функции, то мультипликативной будет и их свёртка Дирихле:

 

ЛитератураПравить

  • Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. — М.: «Мир», 1998. — 703 с. — ISBN 5-03-001793-3.
  • Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М.: Издательский центр «Академия», 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4.