Наблюдатель (динамические системы)

Наблюдатель состояния -- это модель, подключенная параллельно к объекту управления и получающая непрерывную информацию об изменениях регулирующего воздействия и регулирующей величины.

При использовании наблюдателя в систему не добавляются новые информационные каналы, только в регуляторе вводится корректирующие устройство, в результате чего образуется новый регулятор, работающий в обычной одноконтурной системе.

Классификация наблюдателейПравить


  • Измеряющие:
    • Непрямые измерители положения;
    • Измерители ошибки ориентирования (адаптивные);
  • На основе моделей процессов:
    • Неадаптивные
    • Адаптивные
  • На основе фильтра Калмана.[1]

Непрямые измерители положенияПравить

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Для измерения положения ротора они используют магнитную неоднородность свойств двигателя. Например, несимметричность обмоток или неоднородность магнитной проницаемости.

Измерители ошибки ориентированияПравить

Эти наблюдатели применяются в бездатчиковых приводах. Они определяют положение вращающейся системы координат, используя внутренние сигналы системы управления, зависящие от ошибки ее ориентирования. Их можно назвать адаптивными, так как они сводят ошибку ориентирования к нулю. По положению вращающейся системы координат оценивается скорость ротора.


Наблюдатели на основе фильтра КалманаПравить

Этот наблюдатель представляет собой некоторый цифровой фильтр, алгоритм которого строится с учетом законов математической статистики. Он позволяет восстанавливать неизвестный параметр, минимизирует при этом влияние помех измерения известных величин.

Наблюдатель на основе фильтра Калмана характеризуется сложностью вычислительного алгоритма и теоретически должен позволять получать высокую точность наблюдения. На практике параметры системы точно не известны и, более того, еще могут и изменяются в процессе работы. Это ограничивает точность и область использования, казалось бы, идеального наблюдателя.[1]

СистемаПравить

  (1)
  (2)

является наблюдателем для системы

  (3),
  (4),

если для каждого начального состояния   системы (3)-(4) существует начальное состояние   для системы (1)-(2), такое, что равенство   приводит к   при всех управлениях  .

Здесь   — матрицы соответствующей размерности.

Если размерность   равна размерности   и выполнение условия   дает   при всех управлениях  , то система (1) называется наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4).

Набор дифференциальных уравнений (3) описывает изменение во времени состояния некоторой системы.  -мерный вектор  , называемый вектором состояния, описывает состояние этой системы в момент времени  .  -мерный вектор   описывает управляющие воздействия на систему и называется вектором управления или просто управлением.

 -мерный вектор   представляет собой линейную комбинацию переменных состояния системы (3), которую мы можем измерить. Обычно  .   называют наблюдаемой переменной.

Теорема 1. Система (1) является наблюдателем полного порядка для системы (3)-(4) тогда и только тогда, когда  ,  ,  , где   является произвольной переменной во времени матрицей соответствующей размерности. В результате наблюдатели полного порядка имеют следующую структуру:

  (5).

Матрица   называется матрицей коэффициентов усиления наблюдателя. Наблюдатель полного порядка можно также представить в виде

 ,

откуда следует, что устойчивость наблюдателя определяется поведением матрицы

 .

В случае системы с постоянными параметрами, когда все матрицы в постановке задачи являются постоянными, включая матрицу коэффициентов усиления  , устойчивость наблюдателя следует из расположения характеристических чисел матрицы  , называемых полюсами наблюдателя. Наблюдатель будет устойчив, если все его полюса расположены в левой половине комплексной плоскости.

Теорема 2. Рассмотрим наблюдатель полного порядка (5) для системы (3)-(4). Ошибка восстановления

 

удовлетворяет дифференциальному уравнению

 .

Ошибка восстановления обладает тем свойством, что

  при  

для всех   тогда и только тогда, когда наблюдатель является асимптотически устойчивым.

Чем дальше в левой половине комплексной полуплоскости удалены полюса наблюдателя, тем быстрее сходится ошибка восстановления к нулю. Это достигается увеличением матрицы коэффициентов усиления  , однако это повышает чувствительность наблюдателя к шумам измерений, которые, возможно, присутствуют в наблюдаемой переменной  .

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Калачев Ю.Н. Наблюдатели состояния в векторном электроприводе. — ЭФО, 2015. — С. 6. — 61 с.

См. такжеПравить