Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.)

Натура́льные чи́сла (от лат. naturalis — естественный; естественные числа) — числа, возникающие естественным образом при счёте (например, 1, 2, 3, 4, 5…). Последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания, называется натуральным рядом.

Существуют два подхода к определению натуральных чисел:

  • натуральные числа — числа, возникающие при подсчёте (нумерации) предметов (первый, второй, третий, четвёртый, пятый"…);
  • натуральные числа — числа, возникающие при обозначении количества предметов (0 предметов, 1 предмет, 2 предмета, 3 предмета, 4 предмета, 5 предметов"…).

В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором — с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[1]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа к натуральным не относятся.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом (от лат. naturalis — естественный). Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся натуральное число, большее чем .

Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего нуль. Расширенный ряд обозначается[1] или .

Содержание

Аксиомы, позволяющие определить множество натуральных чиселПравить

Аксиомы Пеано для натуральных чиселПравить

Множество   будем называть множеством натуральных чисел, если зафиксированы некоторый элемент 1 (единица), принадлежащий   ( ), и функция   c областью определения   и областью значений   (называемая функцией следования;  ) так, что выполнены следующие условия:

  1. единица является натуральным числом ( );
  2. число, следующее за натуральным, также является натуральным (если  , то  );
  3. единица не следует ни за каким натуральным числом ( );
  4. если натуральное число   непосредственно следует как за натуральным числом  , так и за натуральным числом  , то   (если   и  , то  );
  5. (аксиома индукции) если какое-либо предложение (высказывание)   доказано для натурального числа   (база индукции) и если из допущения, что оно верно для другого натурального числа  , вытекает, что оно верно для следующего за   натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел (пусть   — некоторый одноместный (унарный) предикат, параметром которого является натуральное число  . Тогда, если   и  , то  ).

Перечисленные аксиомы отражают наше интуитивное представление о натуральном ряде и числовой линии.

Принципиальным фактом является то, что эти аксиомы по сути однозначно определяют натуральные числа (категоричность системы аксиом Пеано). А именно, можно доказать (см.[2], а также краткое доказательство[3]), что если   и   — две модели для системы аксиом Пеано, то они необходимо изоморфны, то есть существует обратимое отображение (биекция)   такая, что   и   для всех  .

Поэтому, достаточно зафиксировать в качестве   какую-либо одну конкретную модель множества натуральных чисел.

Теоретико-множественное определение натуральных чисел (определение Фреге — Рассела)Править

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

  •  ;
  •  .

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Опишем несколько первых ординальных чисел и соответствующих им натуральных чисел:

  •  ;
  •  ;
  •  ;
  •  .

Ноль как натуральное числоПравить

Иногда, особенно в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах Пеано заменяют единицу на ноль. В этом случае ноль считается натуральным числом. При определении через классы равномощных множеств ноль является натуральным числом по определению. Специально отбрасывать его было бы неестественно. Кроме того, это значительно усложнило бы дальнейшее построение и применение теории, так как в большинстве конструкций нуль, как и пустое множество, не является чем-то обособленным. Другим преимуществом считать ноль натуральным числом является то, что при этом   образует моноид.

В русской литературе обычно ноль исключён из числа натуральных чисел ( ), а множество натуральных чисел с нулём обозначается как  . Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как  , а без нуля — как  .

В международной математической литературе, с учётом сказанного выше и во избежание неоднозначностей, множество   обычно называют множеством положительных целых чисел и обозначают  . Множество   зачастую называют множеством неотрицательных целых чисел и обозначают  .

 
Положение множества натуральных чисел ( ) среди множеств целых чисел ( ), рациональных чисел ( ), действительных чисел ( ) и иррациональных чисел ( )

Величина множества натуральных чиселПравить

Величина бесконечного множества характеризуется понятием «мощность множества», которое является обобщением числа элементов конечного множества на бесконечные множества. По величине (то есть мощности) множество натуральных чисел больше любого конечного множества, но меньше любого интервала, например, интервала  . Множество натуральных чисел по мощности такое же, как множество рациональных чисел. Множество такой же мощности, как множество натуральных чисел, называется счётным множеством. Так, множество членов любой последовательности счётно. В то же время, существует последовательность, в которую каждое натуральное число входит бесконечное число раз, поскольку множество натуральных чисел можно представить как счётное объединение непересекающихся счётных множеств (например[4],  ).

Операции над натуральными числамиПравить

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

  • сложение: слагаемое + слагаемое = сумма;
  • умножение: множитель × множитель = произведение;
  • возведение в степень:  , где   — основание степени,   — показатель степени. Если   и   — натуральные числа, то и результат будет натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции (с формальной точки зрения не являющиеся операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет)):

  • вычитание: уменьшаемое — вычитаемое = разность. При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого (или равно ему, если считать нуль натуральным числом);
  • деление с остатком: делимое / делитель = (частное, остаток). Частное   и остаток   от деления   на   определяются так:  , причём  . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на нуль, так как иначе   можно представить в виде  , то есть можно было бы считать частным любое число, а остатком  .

Следует заметить, что операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

Основные свойстваПравить

 .
  • Коммутативность умножения:
 .
 .
  • Ассоциативность умножения:
 .
 .

Алгебраическая структураПравить

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел   и рациональных положительных чисел   соответственно.

Теоретико-множественные определенияПравить

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Если обозначить класс эквивалентности множества A, порождённый биекциями, с помощью квадратных скобок: [A], основные арифметические операции определятся следующим образом:

  •  ;
  •  ;
  •  ,

где:

Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. — М.: Наука, 1981. — С. 9. — 560 с.
  2. Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. — 1971. — 445 с.
  3. Доказательство единственности натуральных чисел. Проверено 4 февраля 2011. Архивировано 22 августа 2011 года.
  4. Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задача №48 // Задачи и упражнения по математическому анализу. Книга 1. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 146 (формулировка), 163 (ответ).