Открыть главное меню

Некооперативная игра — термин теории игр. Некооперативной игрой называется математическая модель взаимодействия нескольких сторон (игроков), в процессе которого они не могут формировать коалиции и координировать свои действия.

Содержание

Некооперативная игра в нормальной формеПравить

Некооперативной игрой в нормальной форме называется тройка  , где   — множество участников игры (сторон, игроков);   — множество стратегий участника  ;   — функция выигрыша участника  , определенная на множестве ситуаций   и отображающая его во множество действительных чисел.

Некооперативная игра в нормальной форме предполагает следующий порядок разыгрывания.

1. Игроки одновременно и независимо друг от друга выбирают из множеств   свои стратегии. Вектор стратегий   всех игроков представляет собой ситуацию в игре.

2. Каждый игрок получает выигрыш, определяемый значением функции  , на этом взаимодействие между ними прекращается.

Нормальная форма игры описывает статическое взаимодействие игроков, не предусматривая возможности последовательных ходов, накопления информации о действиях соперника и повторяющегося взаимодействия. Для моделирования этих аспектов используется развернутая форма игры.

Некооперативная игра в развернутой формеПравить

Некооперативная игра в развернутой форме с множеством игроков   представляется с использованием ориентированного дерева (дерева игры) следующим образом.

Вершины дерева представляют собой состояния (позиции), в которых может оказываться игра, ребра — ходы, которые могут использовать игроки. Предполагается, что в каждой позиции может совершать ход не более одного игрока. Выделяется три вида позиций в игре:

  • начальная, представляемая корнем дерева (вершиной, не имеющей входящих ребер);
  • промежуточные, имеющие входящие и выходящие ребра;
  • терминальные, имеющие только входящие ребра.

Начальная и промежуточные позиции образуют множество нетерминальных позиций.

Для каждой вершины дерева  , соответствующей нетерминальной позиции, определен игрок  , совершающий в ней ход и множество ходов этого игрока  . Каждому ходу   соответствует ребро, выходящее из вершины  .

Для учёта несовершенства информации, имеющейся у игроков, нетерминальные вершины могут объединяться в информационные множества.

Для каждой вершины  , соответствующей терминальной позиции, определены функции выигрыша всех игроков  .

Игра предполагает следующий порядок разыгрывания:

1. Игра начинается из начальной позиции.

2. В любой нетерминальной позиции   игрок, имеющий в ней право хода, выбирает ход  , в результате чего игра попадает в следующую позицию, в которую входит ребро, соответствующее ходу  . Если эта позиция является нетерминальной, то повторяется п. 2.

3. Если игра попадает в терминальную позицию  , то все игроки получают выигрыши  , и игра завершается.

Принципы оптимальностиПравить

Основным принципом оптимальности стратегий для некооперативных игр в нормальной форме является равновесие Нэша, основанное на невозможности отклонений участников от выбранных стратегий. К настоящему времени разработано семейство принципов, основанных на равновесии Нэша, и называемых очищениями равновесия Нэша (Nash equilibrium refinements), наиболее часто используемыми среди которых являются:

Менее универсальными, используемыми в отдельных классах некооперативных игр, являются следующие принципы:

Для некооперативных игр в развернутой форме также используются принципы оптимальности, основанные на равновесии Нэша, но учитывающие специфику динамического взаимодействия игроков. К основным из них относятся:

ПримерыПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Петросян Л. А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр: Учеб. пособие для ун-тов. — М.: Высш. шк., Книжный дом «Университет», 1998. — С. 304. — ISBN 5-06-001005-8, 5-8013-0007-4.
  • Васин А. А., Морозов В. В. Теория игр и модели математической экономики. — М., 2005.