Неприводимый многочлен

Неприводимый многочленмногочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров).

ОпределениеПравить

Многочлен   от   переменных над полем   называется неприводимым над полем  , если он является простым элементом кольца  , то есть не является константой и не представим в виде произведения  , где   и   ― многочлены с коэффициентами из  , отличные от констант.

Аналогично определяется многочлен, неприводимый над целостным кольцом.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

 

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряжёнными.

СвойстваПравить

  • Кольцо многочленов   факториально: любой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов, причём это разложение определено однозначно с точностью до постоянных множителей и порядка сомножителей.
  • Над полем вещественных чисел любой неприводимый многочлен одной переменной имеет степень 1 или 2, причём многочлен 2-й степени неприводим тогда и только тогда, когда он имеет отрицательный дискриминант. Действительно, любой вещественный многочлен, не имеющий действительных корней (что возможно только для чётных степеней) имеет хотя бы один чисто комплексный корень  , а тогда корнем данного многочлена является и сопряжённый к этому корню элемент  ; следовательно, этот многочлен делится на вещественный многочлен  , что для многочлена степени 3 или выше означает приводимость.
  • Над любым полем алгебраических чисел существуют неприводимый многочлен любой наперёд заданной степени; например, многочлен  , где   и   ― некоторое простое число, неприводим в силу критерия Эйзенштейна.
  • Неприводимый многочлен над полем характеристики 0 не может иметь кратных корней ни в этом поле, ни в любом его расширении.
  • Если  конечное поле из   элементов, а   — натуральное число, то существует хотя бы один неприводимый многочлен степени n из  .
  • Предположим, что  целозамкнутое кольцо с полем частных   (например   и  ) и   ― многочлен одной переменной со старшим коэффициентом 1, тогда   в  , причём   и   имеют старший коэффициент 1, то  .
  • Редукционный критерий неприводимости. Пусть задан гомоморфизм областей целостности  . Если степень многочлена   совпадает со степенью многочлена   и   неприводим над полем частных области  , то не существует разложения  , где   и отличны от константы.
    • Например, многочлен   со старшим коэффициентом   прост в   (и, следовательно, неприводим в  ), если прост многочлен  , полученный из   редукцией коэффициентов по модулю простого числа.

ПримерыПравить

Следующие пять многочленов демонстрируют некоторые элементарные свойства неприводимых многочленов:

 ,
 ,
 ,
 ,
 , где    .

Над кольцом   целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами).

Над полем   рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми.

Над полем   действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но   является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена   в поле действительных чисел имеет вид  . Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами.

Над полем   комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен   над   может быть разложен на множители вида:

 ,

где   — степень многочлена,   — старший коэффициент,   — корни  . Поэтому единственными неприводимыми многочленами над   являются линейные многочлены (основная теорема алгебры).

Конечные поляПравить

Многочлены с целочисленными коэффициентами, которые являются неприводимыми над полем  , могут быть приводимыми над конечным полем. Например, многочлен   является неприводимым над  , но над полем   из двух элементов мы имеем:

 

ЛитератураПравить

  • Ван-дер-Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1976. — 648 с.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963.