Неравенство

Нера́венство в математике — бинарное отношение, связывающее два числа (или два иных математических объекта) с помощью одного из перечисленных ниже знаков[1].

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

  •  — означает, что меньше, чем
  •  — означает, что больше, чем

Неравенства и равносильны. Говорят, что знаки и противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что заменено на или наоборот.

Нестрогие неравенства

  •  — означает, что меньше или равно
  •  — означает, что больше или равно

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽ и ⩾ соответствует международному стандарту ISO 80000-2. За рубежом иногда используются знаки ≤ и ≥ или ≦ и ≧. Про знаки и также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

  •  — означает, что не равно .
  •  — означает, что величина намного больше, чем
  •  — означает, что величина намного меньше, чем

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства (рациональные, иррациональные, тригонометрические, логарифмические, показательные). В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

править

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

  — это краткая запись пары неравенств:   и  

Числовые неравенства

править

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных   Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство   — алгебраическое первой степени, неравенство   — алгебраическое третьей степени, неравенство   — трансцендентное[2].

Свойства

править

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений[1]:

  • К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
  • От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из   следует, что  
  • Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
  • Одноимённые неравенства можно складывать: если, например,   и   то   Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
  • Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
  • Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства:

  • Транзитивность: если   и   то   и аналогично для прочих знаков.
  • Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

править

Пусть даны функции   и  . Если требуется найти все числа   из области, являющейся пересечением областей существования этих функций, для каждого из которых выполняется неравенство  , то говорят, что требуется решить неравенство

 


Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

  выполняется при  
  выполняется, если   или  
  не выполняется никогда (решений нет).
  выполняется при всех   (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство   возвести в квадрат:   то появится ошибочное решение   не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

править

Неравенство первой степени имеет общий формат:   или   где   (работа со знаками   и   аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на   и, если   измените знак неравенства на противоположный[3]. Пример:

  Приведём подобные члены:   или  

Системы неравенств первой степени

править

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы   получаем два решения: для первого неравенства   для второго:   Соединяя их, получаем ответ:  

Пример 2.   Решения:   и   Второе решение поглощает первое, так что ответ:  

Пример 3.   Решения:   и   они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

править

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

  или  

Если квадратное уравнение   имеет вещественные корни   то неравенство можно привести к виду соответственно:

  или  

В первом случае   и   должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило[4].

Квадратный трёхчлен   с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения   вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех   Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры[5]).

Пример 1.   Разделив на   приведём неравенство к виду:   Решив квадратное уравнение   получаем корни   поэтому исходное неравенство равносильно такому:   Согласно приведенному выше правилу,   что и является ответом.

Пример 2.   Аналогично получаем, что   и   имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу,   или  

Пример 3.   Уравнение   не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех   При   левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех  ).

Пример 4.   Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах[6].

Прочие неравенства

править

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

править

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы[7].

  где   — положительное число, большее 1
 
См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

править

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

Символ Языки
!= C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<> Basic, Pascal, 1С
Lua
/= Haskell, Fortran, Ada
# Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств

править
Символ Изображение Юникод Русское название HTML LaTeX
Код Название Шестнадцатеричное Десятичное Мнемоника
<   U+003C Less-than sign Меньше &#x3C; &#60; &lt; <, \textless
>   U+003E Greater-than sign Больше &#x3E; &#62; &gt; >, \textgreater
  U+2A7D Less-than or slanted equal to Меньше или равно &#x2A7D; &#10877; нет \leqslant
  U+2A7E Greater-than or slanted equal to Больше или равно &#x2A7E; &#10878; нет \geqslant
  U+2264 Less-than or equal to Меньше или равно &#x2264; &#8804; &le; \le, \leq
  U+2265 Greater-than or equal to Больше или равно &#x2265; &#8805; &ge; \ge, \geq
  U+226A Much less-than Много меньше &#x226A; &#8810; нет \ll
  U+226B Much greater-than Много больше &#x226B; &#8811; нет \gg

См. также

править

Примечания

править
  1. 1 2 Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999. Архивировано 16 октября 2013 года.
  2. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
  3. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
  4. Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
  5. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
  6. Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
  7. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

Литература

править