Неравенство Йенсена

Нера́венство Йе́нсена — неравенство, введённое Иоганом Йенсеном и тесно связанное с определением выпуклой функции.

Неравенство Йенсена обобщает утверждение, что хорда к графику выпуклой функции находится над графиком.

ФормулировкиПравить

Конечный случайПравить

Пусть функция   является выпуклой на некотором промежутке   и числа   таковы, что

  и  .

Тогда каковы бы ни были числа   из промежутка  , выполняется неравенство:

 

или

 .

Замечания:

  • Если функция   вогнута (выпукла вверх), то знак в неравенстве меняется на противоположный.
  • Сам Иоган Йенсен исходил из более частного соотношения, а именно
 , оно отвечает случаю  .

Геометрическая интерпретацияПравить

Точка   является соответствующей выпуклой комбинацией точек  . Из определения выпуклой функции очевидно, что выпуклая оболочка этого множества точек будет совпадать с самим множеством. Значит, из свойств выпуклой комбинации следует, что образованная точка будет лежать внутри многоугольника, построенного на перечисленных точках в указанном порядке (если соединить последнюю с первой).

Геометрически очевидно, что в этом случае точка   будет лежать выше одной из прямых вида  . Но у выпуклой функции по определению такая прямая лежит выше графика функции. Значит, и точка   лежит выше этого графика, что и означает, что  .

Интегральная формулировкаПравить

Для выпуклой функции   и интегрируемой функции   выполняется неравенство

 

Вероятностная формулировкаПравить

Пусть   — вероятностное пространство, и   — определённая на нём случайная величина. Пусть также   — выпуклая (вниз) борелевская функция. Тогда если  , то

 ,

где   означает математическое ожидание.

Неравенство Йенсена для условного математического ожиданияПравить

Пусть в дополнение к предположениям, перечисленным выше,   — под-σ-алгебра событий. Тогда

 ,

где   обозначает условное математическое ожидание относительно σ-алгебры  .

Частные случаиПравить

Неравенство ГёльдераПравить

  • Пусть  , где     (выпуклая функция). Имеем
 ,        и  

Обозначим  , где  - произвольные положительные числа, тогда неравенство запишется в виде

 .

Заменяя здесь   на   и   на  , получаем известное неравенство Гёльдера:

 .

Неравенство КошиПравить

  • Пусть   (вогнутая функция). Имеем
 , или  , потенцируя получаем  .

В частности при   получаем неравенство Коши (среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического)

 .

Неравенство между средним гармоническим и средним геометрическимПравить

  • Пусть   (выпуклая функция). Имеем
 . Положив   и потенцируя, получаем
  (среднее гармоническое не превосходит среднего геометрического)

Неравенство между средним гармоническим и средним арифметическимПравить

  • Пусть   (выпуклая функция). Имеем  

В частности при   получаем, что среднее гармоническое не превосходит среднего арифметического:

 

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Зорич В. А. Гл. V. Дифференциальное исчисление // Математический анализ. Часть I. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2012. — С. 289—290. — 2000 экз. — ISBN 978-5-94057-892-5.
  • Фихтенгольц Г. М. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — С. 336—337. — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0156-0.