Неравенство Коши — Буняковского
Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.
Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.
ФормулировкаПравить
Пусть дано линейное пространство со скалярным произведением . Пусть — норма, порождённая скалярным произведением, то есть . Тогда для любых имеем:
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы и пропорциональны (коллинеарны).
КомментарииПравить
В конечномерном случае можно заметить, что , где — площадь параллелограмма, натянутого на векторы и .
В общем случае:
ПримерыПравить
- Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
- В пространстве комплекснозначных квадратично суммируемых последовательностей неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
где обозначает комплексное сопряжение .
- В пространстве комплексных квадратично интегрируемых функций неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
- В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
- где обозначает ковариацию, а — дисперсию.
- Для двух независимых случайных величин и неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
ДоказательствоПравить
- Если то верно следующее
Значит, дискриминант многочлена неположительный, то есть
Следовательно,
- Если то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде
Определим вектор Тогда
- и
К скалярному произведению применим результат первого пункта доказательства.
ПримечанияПравить
- ↑ Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.