Открыть главное меню

Неравенство Коши — Буняковского

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом или гильбертовом пространстве. Это неравенство эквивалентно неравенству треугольника для нормы.

Неравенство Коши — Буняковского иногда, особенно в иностранной литературе, называют неравенством Шварца и неравенством Коши — Буняковского — Шварца, хотя работы Шварца на эту тему появились только спустя 25 лет после работ Буняковского[1]. Конечномерный случай этого неравенства называется неравенством Коши и был доказан Коши в 1821 году.

ФормулировкаПравить

Пусть дано линейное пространство   со скалярным произведением  . Пусть   — норма, порождённая скалярным произведением, то есть  . Тогда для любых   имеем:

 

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда векторы   и   пропорциональны (коллинеарны).

КомментарииПравить

В конечномерном случае можно заметить, что  , где   — площадь параллелограмма, натянутого на векторы   и  .

В общем случае:

 

ПримерыПравить

  • Важным частным случаем, часто использующимся в теории чисел, является случай, когда один из векторов полностью состоит из единиц:
 
 

где   обозначает комплексное сопряжение  .

 
  • В пространстве случайных величин с конечным вторым моментом   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     
где   обозначает ковариацию, а   — дисперсию.
  • Для двух независимых случайных величин   и   неравенство Коши — Буняковского имеет вид:
     

ДоказательствоПравить

  • Если   то   верно следующее
 

Значит, дискриминант многочлена   неположительный, то есть

 

Следовательно,

 
  • Если   то представим скалярное произведение в тригонометрическом виде  

Определим вектор   Тогда

  и
 

К скалярному произведению   применим результат первого пункта доказательства.

 

ПримечанияПравить

  1. Bounjakowsky W. «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.