Неравенство Минковского

Нера́венство Минко́вского — это неравенство треугольника для пространств функций с интегрируемой -ой степенью.

ФормулировкаПравить

Пусть  пространство с мерой, и функции  , то есть  , где  , и интеграл понимается в смысле Лебега. Тогда  , и более того:

 .

ДоказательствоПравить

Сначала докажем, что

  суммируема на  .

Введём множества:  

 
 

 

Перейдём к доказательству неравенства Минковского:

 

  можно применить к ним Неравенство Гёльдера:

 
 

Таким образом:

 

Делим левую и правую части на  .

Неравенство доказано.

Примечание: В случае, когда   неравенство очевидно, т.к. справа стоят неотрицательные числа.

ЗамечаниеПравить

Неравенство Минковского показывает, что в линейном пространстве   можно ввести норму:

 ,

которая превращает его в нормированное, а следовательно и метрическое пространство.

Частные случаиПравить

Евклидово пространствоПравить

Рассмотрим Евклидово пространство   или  .  -норма в этом пространстве имеет вид:

 ,

и тогда

 .

Если   и  , то получаем классическое неравенство треугольника из планиметрии и стереометрии.

Пространство lpПравить

Пусть  счётная мера на  . Тогда множество всех последовательностей  , таких что

 ,

называется  . Неравенство Минковского для это пространства имеет вид:

 .

Вероятностное пространствоПравить

Пусть  вероятностное пространство. Тогда   состоит из случайных величин с конечным  моментом:  , где символ   обозначает математическое ожидание. Неравенство Минковского в этом случае имеет вид:

 .

ЛитератураПравить

  • Вулих Б.З. Краткий курс теории функции вещественной переменной. — 2-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1973. — 352 с.

См. такжеПравить