Неравенство Чебышёва

В Википедии существует статья о другом неравенстве, носящем имя Чебышёва — см. Неравенство Чебышёва для сумм.

Нера́венство Чебышёва (или неравенство Бьенеме — Чебышёва) — неравенство в теории меры и теории вероятностей. Оно было первый раз получено Бьенеме в 1853 году, и позже также Чебышёвым (в статье «О средних величинах» 1867 года).

Неравенство, использующееся в теории меры, является более общим, в теории вероятностей используется его следствие.

В теории меры

Неравенство Чебышёва в теории меры описывает взаимосвязь интеграла Лебега и меры. Аналог этого неравенства в теории вероятностей — неравенство Маркова. Неравенство Чебышёва также используется для доказательства вложения пространства $L_{p}$ в слабое пространство $L_{p}$.

Формулировки

• Пусть $(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )$ — пространство с мерой. Пусть также
  • $A\in {\mathcal {F}}$
  • $\phi (x)\geqslant 0$ — суммируемая на $A$ функция
  • $c>0$.

Тогда справедливо неравенство:

$\mu {\bigl (}\{x:x\in A,\phi (x)\geqslant c\}{\bigr )}\leqslant {\frac {1}{c}}\int \limits _{A}\phi (x)\mu (dx)$.

• В более общем виде:

Если $g$ — неотрицательная вещественная измеримая функция, неубывающая на области определения $\phi$, то

$\mu {\bigl (}\{x\in A\,:\,\,\phi (x)\geqslant t\}{\bigr )}\leqslant {1 \over g(t)}\int _{A}g\circ \phi \,\mu (dx).$

• В терминах пространства $L_{p}$:

Пусть $\phi (x)\in L_{p}$. Тогда $\mu {\Bigl (}{\bigl \{}x\in A\,{\big |}\,|\phi (x)|>t{\bigr \}}{\Bigr )}\leqslant {\frac {\|\phi \|_{p}^{p}}{t^{p}}}.$

Неравенство Чебышёва может быть получено как следствие из неравенства Маркова.

В теории вероятностей

Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Неравенство Чебышёва в теории вероятностей утверждает, что случайная величина в основном принимает значения, близкие к своему среднему. А более точно, оно даёт оценку вероятности того, что случайная величина примет значение, далёкое от своего среднего.

Неравенство Чебышёва является следствием неравенства Маркова.

Формулировки

Пусть случайная величина $X\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ определена на вероятностном пространстве $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$, а её математическое ожидание $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$ конечны. Тогда

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\sigma ^{2}}{a^{2}}}$,

где $a>0$.

Если $a=k\sigma$, где $\sigma$ — стандартное отклонение и $k>0$, то получаем

$\mathbb {P} \left(|X-\mu |\geqslant k\sigma \right)\leqslant {\frac {1}{k^{2}}}$.

В частности, случайная величина с конечной дисперсией отклоняется от среднего больше, чем на $2$ стандартных отклонения, с вероятностью меньше $25\%$. Отклоняется от среднего на $3$ стандартных отклонения с вероятностью меньше $11.12\%$. Иными словами, случайная величина укладывается в $2$ стандартных отклонения с вероятностью $75\%$ и в $3$ стандартных отклонения с вероятностью $88.88\%$

Для важнейшего случая одномодальных распределений неравенство Высочанского — Петунина существенно усиливает неравенство Чебышёва, включая в себя дробь 4/9. Таким образом, граница в $3$ стандартных отклонения включает $95.06\%$ значений случайной величины. В отличие от нормального распределения, где $3$ стандартных отклонения включают $99.73\%$ значений случайной величины.

См. также

• Оценка Чернова

Литература

• Колмогоров, А. Н., Фомин, С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• коллектив авторов. Московский математический сборник. — М., 1867. — Т. 2.

Ссылки

• Видеолекция о случайных величинах, неравенствах Маркова и Чебышёва
• П. Л. Чебышевъ, «О среднихъ величинахъ», Матем. сб., 2:1 (1867), 1-9