Открыть главное меню

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

ОпределениеПравить

Пусть  выборка из распределения, зависящего от параметра  . Тогда оценка   называется несмещённой, если

 ,

где

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина   называется её смеще́нием.

ПримерыПравить

  • Выборочное среднее   является несмещённой оценкой математического ожидания  , так как если  ,  , то  .
  • Пусть независимые случайные величины   имеют конечную дисперсию  . Построим оценки
  — выборочная дисперсия,

и

  — исправленная выборочная дисперсия.

Тогда   является смещённой, а   несмещённой оценками параметра  . Смещённость   можно доказать следующим образом.

Пусть   и   — среднее и его оценка соответственно, тогда:

 

Добавив и отняв  , а затем сгрупировав слагаемые, получим:

 

Возведём в квадрат и получим:

 

Заметив, что  , получим:

 

Учитывая, что

  •   (свойство математического ожидания);
  •  дисперсия;
  •  , т.к.  , учитывая, что   и   независимые и  , т.е.  ,

получим:

 

Литература и некоторые ссылкиПравить