Несобственный интеграл

(перенаправлено с «Несобственные интегралы»)

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

  • Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком .
  • Функция является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

править
 
Несобственный интеграл первого рода

Пусть   определена и непрерывна на интервале   и  . Тогда:

  1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к « », « », или просто расходящимся.

Пусть   определена и непрерывна на множестве от   и  . Тогда:

  1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае   называется сходящимся.
  2. Если не существует конечного   (  или  ), то интеграл   называется расходящимся к « », « », или просто расходящимся.

Если функция   определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

 , где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

править

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

править

 

Несобственные интегралы II рода

править
 
Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть   определена на  , терпит бесконечный разрыв в точке x = a и  . Тогда:

  1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к « », « », или просто расходящимся.

Пусть   определена на   , терпит бесконечный разрыв при x = b и  . Тогда:

  1. Если  , то используется обозначение   и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
  2. Если   или  , то обозначение сохраняется, а   называется расходящимся к « », « », или просто расходящимся.

Если функция   терпит разрыв во внутренней точке   отрезка  , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

 

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

править

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

править

 

Отдельный случай

править

Пусть функция   определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках  .

Тогда можно найти несобственный интеграл  

Критерий Коши

править

1. Пусть   определена на множестве от   и  .

Тогда   сходится  

2. Пусть   определена на   и  .

Тогда   сходится  

Абсолютная сходимость

править

Интеграл   называется абсолютно сходящимся, если  сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

править

Интеграл   называется условно сходящимся, если   сходится, а   расходится.

См. также

править


Литература

править

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.