Несобственный интеграл

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется по крайней мере одно из следующих условий.

• Область интегрирования является бесконечной. Например, является бесконечным промежутком $[a,+\infty )$.
• Функция $f(x)$ является неограниченной в окрестности некоторых точек области интегрирования.

Если интервал $[a,b]$ конечный и функция интегрируема по Риману, то значение несобственного интеграла совпадает со значением определённого интеграла.

Несобственные интегралы I рода

Несобственный интеграл первого рода

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на интервале $[a,+\infty )$ и $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\exists \lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx=I\in \mathbb {R}$, то используется обозначение $I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\lim _{A\to +\infty }\int \limits _{a}^{A}f(x)dx$ ($\pm \infty$ или $\nexists$), то интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ называется расходящимся к «$\infty$», «$\pm \infty$», или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена и непрерывна на множестве от $(-\infty ,b]$ и $\forall B<b\Rightarrow \exists \int \limits _{B}^{b}f(x)dx$. Тогда:

1. Если $\exists \lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx=I\in \mathbb {R}$, то используется обозначение $I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана первого рода. В этом случае $I=\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx$ называется сходящимся.
2. Если не существует конечного $\lim _{B\to -\infty }\int \limits _{B}^{b}f(x)dx$ ($\pm \infty$ или $\nexists$), то интеграл $\int \limits _{-\infty }^{b}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\infty$», «$\pm \infty$», или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ определена и непрерывна на всей числовой прямой, то может существовать несобственный интеграл данной функции с двумя бесконечными пределами интегрирования, определяющийся формулой:

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{+\infty }f(x)dx$, где с — произвольное число.

Геометрический смысл несобственного интеграла I рода

Несобственный интеграл первого рода выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции.

Примеры

$\int \limits _{-\infty }^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }\int \limits _{a}^{-1}{1 \over x^{2}}dx=\lim _{a\to -\infty }{\Bigl .}-{\frac {1}{x}}{\Bigr |}_{a}^{-1}=1+\lim _{a\to -\infty }{\frac {1}{a}}=1+0=1$

Несобственные интегралы II рода

Несобственный интеграл Римана второго рода

Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$, терпит бесконечный разрыв в точке x = a и $\forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )$. Тогда:

1. Если $\exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R}$, то используется обозначение $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty$ или $\nexists )$, то обозначение сохраняется, а ${\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\infty$», «$\pm \infty$», или просто расходящимся.

Пусть $f(x)$ определена на $[a,b)$ , терпит бесконечный разрыв при x = b и $\forall \delta >0\Rightarrow \exists \int \limits _{a}^{b-\delta }f(x)dx={\mathcal {I}}(\delta )$. Тогда:

1. Если $\exists \lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=I\in \mathbb {R}$, то используется обозначение $I=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ и интеграл называется несобственным интегралом Римана второго рода. В этом случае интеграл называется сходящимся.
   
2. Если $\lim _{\delta \to 0+0}{\mathcal {I}}(\delta )=\infty \;(\pm \infty$ или $\nexists )$, то обозначение сохраняется, а ${\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ называется расходящимся к «$\infty$», «$\pm \infty$», или просто расходящимся.

Если функция $f(x)$ терпит разрыв во внутренней точке $c$ отрезка $[a;b]$, то несобственный интеграл второго рода определяется формулой:

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=\int \limits _{a}^{c}f(x)dx+\int \limits _{c}^{b}f(x)dx.$

Геометрический смысл несобственных интегралов II рода

Несобственный интеграл второго рода выражает площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Пример

$\int \limits _{0}^{1}{dx \over x}=\lim _{\delta \to 0+0}{\Bigl .}\ln |x|{\Bigr |}_{0+\delta }^{1}=0-\lim _{\delta \to 0+0}\ln \delta =+\infty$

Отдельный случай

Пусть функция $f(x)$ определена на всей числовой оси и имеет разрыв в точках $x_{1},x_{2},\dots ,x_{k}$.

Тогда можно найти несобственный интеграл $\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}f(x)dx+\sum _{j=1}^{k-1}{\int \limits _{x_{j}}^{x_{j+1}}f(x)dx}+\int \limits _{x_{k}}^{+\infty }f(x)dx$

Критерий Коши

1. Пусть $f(x)$ определена на множестве от $[a,+\infty )$ и $\forall A>a\ \exists \int \limits _{a}^{A}f(x)dx$.

Тогда ${\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx$ сходится $\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists A(\varepsilon )>a:\forall (A_{2}>A_{1}>A)\Rightarrow \left|\,\int \limits _{A_{1}}^{A_{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon$

2. Пусть $f(x)$ определена на $(a,b]$ и $\forall \delta >0\ \exists \int \limits _{a+\delta }^{b}f(x)dx$.

Тогда ${\mathcal {I}}=\int \limits _{a}^{b}f(x)dx$ сходится $\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\Rightarrow \exists \delta (\varepsilon )>0:\forall (0<\delta _{1}<\delta _{2}<\delta )\Rightarrow \left|\,\int \limits _{a+\delta _{1}}^{a+\delta _{2}}f(x)dx\right|<\varepsilon$

Абсолютная сходимость

Интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\right)$ называется абсолютно сходящимся, если $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \ \left(\int \limits _{a}^{b}|f(x)|dx\right)$сходится.
Если интеграл сходится абсолютно, то он сходится.

Условная сходимость

Интеграл $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \$ называется условно сходящимся, если $\int \limits _{a}^{+\infty }f(x)dx\ \$ сходится, а $\int \limits _{a}^{+\infty }|f(x)|dx\ \$ расходится.

См. также

• Интеграл Римана
• Интеграл Лебега
• Метод Самокиша — численный метод для вычисления интегралов с особенностями.

Литература

Дмитрий Письменный. Конспект лекций по высшей математике, часть 1. — Айрис Пресс, 2007. — С. 233-237.