Открыть главное меню

Нильпотентный элемент или нильпотентэлемент кольца, удовлетворяющий равенству для некоторого натурального . Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

ПримерыПравить

  • В кольце вычетов по модулю  , где   ― некоторое простое число, класс вычетов числа   ― нильпотент индекса  ,
  • Матрица
 
является нильпотентом индекса   в кольце  -матриц

Связанные определенияПравить

  • элемент кольца   называется унипотентным (или унипотентом) если   является нильпотентным,
    • Например, унипотентной является матрица
       

СвойстваПравить

  • Если   ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
 ,
т. е. элемент   обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от  .
  • В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
  • Все нильпотентные элементы образуют идеал  , называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо   уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
  • При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.