Открыть главное меню

Нормальная подгруппа

Норма́льная подгру́ппа (также инвариа́нтная подгру́ппа или нормальный делитель) — подгруппа особого типа, левый и правый смежные классы по которой совпадают. Такие группы важны, поскольку позволяют строить факторгруппу.

ОпределенияПравить

Подгруппа   группы   называется нормальной, если она инвариантна относительно сопряжений, то есть для любого элемента   из   и любого   из   элемент   лежит в  :

   

Следующие условия нормальности подгруппы эквивалентны:

  1. Для любого   из    .
  2. Для любого   из    .
  3. Множества левых и правых смежных классов   в   совпадают.
  4. Для любого   из    .
  5.   изоморфна объединению классов сопряжённых элементов.

Условие (1) логически слабее, чем (2), а условие (3) логически слабее, чем (4). Поэтому условия (1) и (3) часто используются при доказательстве нормальности подгруппы, а условия (2) и (4) используются для доказательства следствий нормальности.

ПримерыПравить

  •   и   — всегда нормальные подгруппы  . Они называются тривиальными. Если других нормальных подгрупп нет, то группа   называется простой.
  • Все подгруппы   абелевой группы   нормальны, так как  . Неабелева группа, у которой любая подгруппа нормальна, называется гамильтоновой.
  • Группа параллельных переносов в пространстве любой размерности — нормальная подгруппа евклидовой группы; например, в трёхмерном пространстве поворот, сдвиг и поворот в обратную сторону приводит к простому сдвигу.
  • В группе кубика Рубика подгруппа, состоящая из операций, действующих только на угловые элементы, нормальна, так как никакое сопряжённое преобразование не заставит такую операцию действовать на краевой, а не угловой элемент. Напротив, подгруппа, состоящая лишь из поворотов верхней грани, не нормальна, так как сопряжения позволяют переместить части верхней грани вниз.

СвойстваПравить

  • Нормальность сохраняется при сюръективных гомоморфизмах и взятии обратных образов.
  • Ядро гомоморфизма — нормальная подгруппа.
  • Нормальность сохраняется при построении прямого произведения.
  • Нормальная подгруппа нормальной подгруппы не обязана быть нормальной в группе, то есть нормальность не транзитивна. Однако характеристическая подгруппа нормальной подгруппы нормальна.
  • Каждая подгруппа индекса 2 нормальна. Если   — наименьший простой делитель порядка  , то любая подгруппа индекса   нормальна.
  • Если   — нормальная подгруппа в  , то на множестве левых (правых) смежных классов   можно ввести групповую структуру по правилу
 
Полученное множество называется факторгруппой   по  .
  •   нормальна тогда и только тогда, когда она тривиально действует на левых смежных классах  .
  • Каждая нормальная подгруппа является квазинормальной

Исторические фактыПравить

Эварист Галуа первым понял важность нормальных подгрупп.

СсылкиПравить

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.:Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 272 с. — ISBN 5-9221-0489-6.