Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака

В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака — нормальная форма векторного поля или обыкновенного дифференциального уравнения в окрестности своей особой точки.

Формулировка

Резонансы

По определению, резонансом для набора $(\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n})\in \mathbb {C} ^{n}$ называется равенство

$\lambda _{j}=\langle \lambda ,\;k\rangle ,$

((*))

где $k\in \mathbb {Z} ^{n},\;k_{1},\;\ldots ,\;k_{n}\geqslant 0,\;k_{1}+\ldots +k_{n}\geqslant 2$.

Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями $\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}$, называется моном

$z^{k}\partial /\partial z_{j},$

где $z^{k}=z_{1}^{k_{1}}\ldots z_{n}^{k_{n}}$ и для $\lambda$ и $k$ выполнено (*).

Теорема Пуанкаре — Дюлака

Теорема. Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.

Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.

Связанные понятия

Области Пуанкаре и Зигеля

Говорят, что вектор $\lambda \in \mathbb {C} ^{n}$ принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек $\lambda _{1},\;\ldots ,\;\lambda _{n}\in \mathbb {C} \sim \mathbb {R} ^{2}$. В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор $\lambda$ принадлежит строгой области Зигеля.

В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.

Теорема Левелля

Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки

${\dot {z}}={\frac {A(t)}{t}}z$

может рассматриваться как линейный по $z$ вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы

$\left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=A(t)z,\\{\dot {t}}=t.\end{array}}\right.$

Литература

• Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
• Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.