Нормальная форма дифференциальных уравнений

Нормальная форма дифференциальных уравнений есть наипростейшая эквивалентная форма исходных уравнений. Нормальная форма получается с помощью специальных замен зависимых и независимых переменных задачи с целью максимального упрощения структуры уравнений. В математике эти замены переменных связаны с инфинитезимальными преобразованиями групп Ли. В физике вопросы, связанные с нормальной формой, получили отражение в теореме Эмми Нётер.

Впервые идея построения нормальной формы уравнений была сформулирована выдающимся французским учёным Анри Пуанкаре в работе о новых методах небесной механики. Основная мысль, высказанная Пуанкаре, состоит в том, чтобы не стараться всеми силами решить исходные уравнения, а найти такую замену переменных, которая привела бы уравнения к простейшему, по возможности, к линейному виду. Используя обратную замену переменных, можно восстановить исходное решение. Ключевой вопрос — всегда ли существует такая взаимооднозначная замена переменных, что её результатом будут линейные уравнения, — решен в общем случае отрицательно. Оказалось, что если система имеет резонанс в особой точке, то в окрестности этой точки искомой замены нет. Полученные в результате нормализующих преобразований уравнения получили краткое название «нормальная форма».

Примеры нормальных формПравить

1. Нормальная форма автономной системы дифференциальных уравнений в окрестности «неособой» точки (где задаваемое этой системой векторное поле в фазовом пространстве   отлично от нуля):

 


2. Нормальная форма вырожденных уравнений «взрывной неустойчивости»

 

есть исходная форма. Уравнения не сводятся к линейным из-за нулевого собственного значения. Если собственное число — ноль, то резонанс есть всегда.


3. Нормальная форма уравнений линейного осциллятора

 

представляется парой линейных уравнений для комплексно-сопряженных переменных

 

и

 

где   есть нормальная координата.


4. Нормальная форма логистического уравнения с квадратичной нелинейностью

 

есть следующая линейная форма

 

В том, что   есть нормальная координата, можно убедиться непосредственной подстановкой

 

которая получается в результате применения асимптотической процедуры построения нормализующего преобразования.


5. Нормальная форма уравнений нелинейного осциллятора с затуханием

 

есть пара линейных комплексно-сопряженных уравнений

 

и

 

где   - искомая нормальная координата. Функция   - произвольный степенной ряд по аргументу  , начинающийся с квадратичных членов разложения.


6. Нормальная форма нелинейных уравнений движения в окрестности «седла»

 

 


где   и   - произвольные степенные ряды, начинающиеся с квадратичных членов по переменным   и  , есть пара нелинейных уравнений


 

 


где   и   — произвольные степенные ряды по единому аргументу  . В данном случае систему не удается привести к линейной нормальной форме из-за наличия резонанса.


7. Нормальная форма уравнения, не разрешённого относительно производной, в окрестности простейшей особой точки (т. е. точки, вблизи которой уравнение не может быть однозначно разрешено относительно производной) — так называемая нормальная форма Чибрарио

 

ЛитератураПравить

  • Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, — Любое издание.
  • Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1985, том 1.
  • Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций, — Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. мат. Фундам. направ., 1986, том 5.
  • Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, — Наука, Москва, 1979.
  • Брюно А. Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях, — Физматлит, Москва, 1998.
  • Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения, — Мир, Москва, 1970.
  • Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю. Конечно-гладкие нормальные формы локальных семейств диффеоморфизмов и векторных полей, — УМН, 1991, 46:1 (277).