Открыть главное меню

Нормальный оператор

Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве, перестановочный со своим сопряжённым: . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы: и унитарные операторы: . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема.

Содержание

РазложенияПравить

 

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа   через его действительную и мнимую части:  , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме:  [1]

СвойстваПравить

  • Если оператор   нормален, то операторы  ,  , а также обратный оператор   (если он существует), тоже нормальны.[2]
  • Линейный непрерывный оператор   в гильбертовом пространстве   нормален тогда и только тогда, когда   для каждого  .
  •  . Здесь   — ядро,   — образ оператора  .
  • Если   при некотором   и  , то  .
  • Собственные подпространства, соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны.[3]
  • Теорема о перестановочности. Пусть   — линейные непрерывные операторы, причем операторы   и   нормальны. Если  , то  . В частности, если оператор   перестановочен с нормальным оператором  , то он перестановочен и с сопряжённым  .[4]
  •   [5]
  • Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси. Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности.[6]
  • Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если  , где   — нормальные операторы, а оператор   обратим, то  , где   — унитарный оператор.[7]
  •  , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой.[2]

Спектральная теоремаПравить

Основная статья: Спектральная теорема

Любому нормальному оператору   соответствует семейство проекционных операторов  , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что

 

и вообще

 

где   — произвольный многочлен от   и  ; при любом фиксированном прямоугольнике   оператор   является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов   и  [8].

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

 [9]

Случай конечномерного пространстваПравить

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица. Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

Неограниченные операторыПравить

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор   (не обязательно ограниченный) в гильбертовом пространстве   называется нормальным, если его область определения   плотна в  , он замкнут и удовлетворяет условию  . Для нормального оператора  ,   для любого  . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема.[11]

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить