Норма (математика)
Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или абсолютного значения числа.
Определение
правитьНорма вектора
правитьНорма в векторном пространстве над полем вещественных или комплексных чисел — это функционал , обладающий следующими свойствами:
- (неравенство треугольника);
Эти условия являются аксиомами нормы.
Векторное пространство с нормой называется нормированным пространством, а условия (1—3) — также аксиомами нормированного пространства.
Из аксиом нормы очевидным образом вытекает свойство неотрицательности нормы:
.
Действительно, из третьего свойства следует: , а из свойства 2 — .
Чаще всего норму обозначают в виде: . В частности, — это норма элемента векторного пространства .
Вектор с единичной нормой называется единичным или нормированным.
Любой ненулевой вектор можно нормировать, то есть разделить его на свою норму: вектор имеет единичную норму. С геометрической точки зрения это значит, что мы берем сонаправленный вектор единичной длины.
Норма матрицы
правитьНормой матрицы называется вещественное число , удовлетворяющее первым трём из следующих условий:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
Если выполняется также и четвёртое свойство, норма называется субмультипликативной. Матричная норма, составленная как операторная, называется подчинённой по отношению к норме, использованной в пространствах векторов. Очевидно, что все подчинённые матричные нормы субмультипликативны.
Матричная норма из называется согласованной с векторной нормой из и векторной нормой из если справедливо:
для всех .
Норма оператора
правитьНорма оператора — число, которое определяется так:
- ,
- где — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .
Это определение эквивалентно следующему:
- Свойства операторных норм:
- , причём только при ;
- , где ;
- ;
- .
В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.
Свойства нормы
править- [косинус угла]
Эквивалентность норм
править- Две нормы и на пространстве называются эквивалентными, если существует две положительные константы и такие, что для любого выполняется . Эквивалентные нормы задают на пространстве одинаковую топологию. В конечномерном пространстве все нормы эквивалентны[1].
Примеры
правитьЛинейные нормированные пространства
править- Любое предгильбертово пространство можно считать нормированным, так как скалярное произведение порождает естественную норму
- Гёльдеровы нормы -мерных векторов (семейство): ,
где (обычно подразумевается, что это натуральное число). В частности:
- , что также имеет название метрика L1, норма или манхэттенское расстояние. Для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.
- , что также имеет название метрика L2, норма или евклидова норма. Является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.
- (это предельный случай ).
- Нормы функций в — пространстве вещественных (или комплексных) непрерывных функций на отрезке [0,1]:
- — в смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций образует полное линейное пространство. Этого нельзя сказать о следующих двух примерах нормы на этом пространстве, тем не менее, законных:
- Аналогично можно ввести нормы для конечномерных векторных функций конечномерных векторных аргументов, заменив на , а интегрирование по отрезку интегрированием по области (максимум же на отрезке — в соответствующем случае — максимумом на области).
L0-«норма»
правитьОсобым случаем является (L0-«норма»), определяемая как количество ненулевых элементов вектора. Строго говоря, это не является нормой, так как не выполняется третья аксиома нормы. В основном таким видом «нормы» пользуются в задачах разреженного кодирования, в частности в Compressive sensing, где нужно найти наиболее разреженное представление вектора (с наибольшим количеством нулей), то есть с наименьшей -нормой. С помощью этой «нормы» может быть определённо расстояние Хэмминга.
Некоторые виды матричных норм
править- Порожденные нормы :
- : -норма,
- (евклидова норма) и (квадратные матрицы), подчиненная норма матрицы называется спектральная норма. Спектральная норма матрицы равна наибольшему сингулярному числу матрицы или квадратному корню из наибольшего собственного числа положительно полуопределённой матрицы : , где обозначает матрицу, сопряжённую к матрице .
- : -норма
- Здесь — сопряжённая к матрица, — след матрицы.
- Поэлементная -норма ( ):
Связанные понятия
правитьТопология пространства и норма
правитьНорма задаёт на пространстве метрику (в смысле — функцию расстояния метрического пространства), порождая таким образом метрическое пространство, а значит топологию, базой которой являются всевозможные открытые шары, то есть множества вида . Понятия сходимости, определённой на языке теоретико-множественной топологии в такой топологии и определённой на языке нормы, при этом совпадают.
См. также
правитьПримечания
править- ↑ М. Вербицкий. Начальный курс топологии. Задачи и теоремы. — Litres, 2018-12-20. — С. 163—164. — 346 с.
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |