Норма (теория полей)

Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение поля K степени n,  — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается или просто , если понятно, о каком расширении идет речь.

СвойстваПравить

  •   тогда и только тогда, когда  .
  •   для любого  
  •  
  • Норма транзитивна, то есть для цепочки расширений   имеем  
  • Если E = K(α) — простое алгебраическое расширение и f (x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 — минимальный многочлен α, то  

Выражение нормы через автоморфизмы E над KПравить

Пусть σ1, σ2 … σm — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:

 

Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.

Тогда  

ПримерПравить

Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе   умножению на   соответствует матрица

 

Определитель этой матрицы равен  , то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как   и это хорошо согласуется с тем, что единственный нетривиальный автоморфизм поля комплексных чисел — комплексное сопряжение.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 1.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.