Открыть главное меню

Нормирование (алгебра)

Норми́рование — отображение элементов поля или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле , обладающее следующими свойствами:

1) и только при
2)
3)

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) , то нормирование называется неархимедовым.

Значение называется нормой элемента . Если упорядоченное поле является полем вещественных чисел , то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы и называются эквивалентными, если равносильно .

Примеры нормированийПравить

  • Нормирование, при котором  ,   для остальных  . Такое нормирование называется тривиальным.
  • Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел   и модуль в поле комплексных чисел   являются нормированием.
  • Пусть   — поле рациональных чисел, а   — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби  , где   и   не кратны  . Можно определить следующее нормирование  . Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно теореме Островского[en], любая нетривиальная норма на   эквивалентна либо абсолютной величине  , либо р-адическому нормированию.

Свойства нормыПравить

  •  
  • Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство   (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
  • Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число  , такое, что для любой суммы единичных элементов поля  :
3b)  

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов   и   из поля   имеем:

 

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при  , получаем условие 3a).[источник не указан 2291 день] Обратное утверждение очевидно.[источник не указан 2291 день]

Нормированное поле как метрическое пространствоПравить

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля   как норму разности  , мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в  .

ПополнениеПравить

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле   изоморфно вкладывается в полное нормированное поле  , то есть существует изоморфизм  . Норма в   продолжает норму в  , то есть для каждого   из  :  , причём   плотно в   относительно этой нормы. Любое такое поле   определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на  ; оно называется пополнением поля  .

Пример. Пополнением поля рациональных чисел   с p-адической метрикой является поле p-адических чисел  .

Экспоненциальное нормированиеПравить

Пусть   — отображение из мультипликативной группы поля   в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1)  
2)  

Удобно также доопределить эту функцию в нуле:  . Групповая операция на   определена следующим образом:   для любого  ,   упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд[1] и Ленг.[2] Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения   называют группой нормирования, а множество тех элементов   поля  , для которых   — кольцом нормирования (обозначение —  ), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

ПримечанияПравить

  1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру, с. 115.
  2. Ленг С. Алгебра, с. 337.

ЛитератураПравить

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Наука, 1975.
  • Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: ИЛ, 1963. — Т. 2.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.