Нотация анализа

Нотация анализа — система математических обозначений, применяемая в математическом анализе, при этом различные математические школы применяют различные обозначения для производной функций или переменных. Использование той или иной нотации зависит от контекста, и одно обозначение может оказаться удобнее других в конкретном случае. Наиболее общеупотребительна нотация Лейбница[⇨], также широко используются нотации Лагранжа[⇨], Эйлера[⇨], Ньютона[⇨].

Нотация ЛейбницаПравить

dy
dx
d2y
dx2
Первая и вторая производные от y по x в нотации Лейбница.

Оригинальная нотация, использованная Готфридом Вильгельмом Лейбницем, сплошь используется математиками. Она особенно удобна, когда выражение   рассматривается как функциональная связь между переменными   и  . Нотация Лейбница делает эту связь явной путём записи производной как

 

Функция, значение которой в точке x является производной от f по x тогда записывается

 

Производные большего порядка записываются как

 

Это напоминает формальную манипуляцию символами

 

Вообще говоря, эти равенства не являются теоремами. Более того, они являются просто определениями нотации. К тому же применение правила вычисления производной от дроби[en] к вышеприведённой нотации с использованием dd, чтобы не путать с d2, даёт

 

Значение производной y в точке   можно выразить с помощью нотации Лейбница двумя путями:

 .

Обозначение Лейбница позволяет указать переменную, по которой ведётся дифференцирования (в знаменателе). Это особенно удобно, когда рассматриваются частные производные. Это также позволяет легко запомнить и распознать правило дифференцирования сложной функции:

 

Нотация Лейбница для дифференцирования не требует придания особого смысла символам, таким как   или   и некоторые авторы не пытаются придать этим символам какой-то смысл. Лейбниц трактовал эти символы как бесконечно малые величины. Позднее авторы дали им другие смыслы, такие как бесконечно малые в нестандартном анализе или внешние производные.

Некоторые авторы и журналы используют прямое написание символа дифференцирования d вместо курсива, то есть dx. Стандарт ISO/IEC 80000 рекомендует этот стиль.

Нотация Лейбница для первообразнойПравить

 
 
Простой и двойной неопределённый интегралы y по x в нотации Лейбница.

Для функций от 2 и более переменных см. Кратный интеграл

Лейбниц ввёл знак интеграла   в работах Analyseos tetragonisticae pars secunda и Methodi tangentium inversae exempla (обе работы 1675 года). Знак стал стандартным символом интегрирования.

 

Нотация ЛагранжаПравить

 
Функция f от x, продифференцированная один раз в нотации Лагранжа.

Одна из наиболее употребительных нотаций дифференцирования названа именем Жозефа Луи Лагранжа, хотя на самом деле её ввёл Эйлер, а Лагранж просто сделал нотацию популярной. В нотации Лагранжа штрих означает производную. Если f — функция, то её производная от x записывается как

 .

Нотация появилась в печати в 1749 году[1].

Производные более высоких порядков отображаются дополнительными знаками,   для второй производной[en] и   для третьей производной[en]. Использование кратных штрихов рано или поздно приводит к громоздким выражениям. Некоторые авторы продолжают использование римских цифр, обычно на нижнем регистре[2][3] как ниже

 

для обозначения четвёртой, пятой, шестой и производных более высокого порядка. Другие авторы используют арабские цифры в скобках как ниже

 

Эта нотация делает возможным записать n-ю производную, где n является переменной. Делается это так

 

Символы юникода для нотации Лагранжа:

  • U+2032 ◌′ штрих (производная)
  • U+2033 ◌″ двойной штрих (вторая производная)
  • U+2034 ◌‴ тройной штрих (третья производная)
  • U+2057 ◌⁗ четверной штрих (четвёртая производная)

Если имеется две независимые переменные для функции f(x, y), можно следовать следующим соглашениям[4]:

 

Нотация Лагранжа для первообразнойПравить

f(−1)(x)
f(−2)(x)
Обычный и двойной неопределённые интегралы функции f по переменной x в нотации Лагранжа.

Для обозначения первообразной Лагранж следовал нотации Лейбница[5]:

 

Однако, поскольку интегрирование является обратной операцией взятия производной, нотация Лагранжа для производных больших степеней распространяется и на интегрирование. Кратные интегралы от f могут быть записаны как

  для обычного интеграла (не спутайте с обратной функцией  ),
  для двойного интеграла,
  для тройного интеграла
  для n-кратного интеграла.

Нотация ЭйлераПравить

 
 
Производная по x от y и вторая производная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера использует дифференциальный оператор, предложенный Луи-Франсуа-Антуаном Арбогастом, имеющим обозначение   (D-оператор)[6] или   (оператор Ньютона — Лейбница)[7]. Когда применяется к функции  , оператор определяется как

 

Производные более высокого порядка обозначаются как «степени» оператора D (где индекс обозначает кратность оператора D)[4]

  для второй производной,
  для третьей производной
  для n-й производной.

Нотация Эйлера не указывает явно переменную, по которой ведётся дифференцирование. Однако эту переменную можно указать и явно. Если f — это функция от переменной x, это можно выразить, записав[4]

  для первой производной,
  для второй производной,
  для третьей производной
  для n-й производной.

Если f является функцией нескольких переменных, принято использовать «», а не D. Как и выше, нижний индекс означает переменную, по которой ведётся дифференцирование. Например, вторые частные производные функции f(x, y) обозначаются как[4]:

 
 
 
 

См. § Частные производные.

Нотация Эйлера полезна для формулировки и решения линейных дифференциальных уравнений, поскольку упрощает представление дифференциальных уравнений, что позволяет увидеть существенные элементы задачи проще.

Нотация Эйлера для первообразнойПравить

 
 
Первообразная для y от x и вторая первообразная функции f, нотация Эйлера.

Нотация Эйлера может быть использована для первообразной так же, как и нотация Лагранжа[8], следующим образом[7]

  для первой первообразной,
  для второй первообразной
  для n-й первообразной.

Нотация НьютонаПравить

Первая и вторая производные x, нотация Ньютона.

Нотация Ньютона для дифференцирования помещает точку над зависимой переменной. То есть, если y является функцией от t, то производная y по t есть

 .

Производные более высокого порядка представляются кратными точками как ниже

 

Ньютон распространил эту идею широко[9]:

 

Символы юникода для нотации Ньютона:

  • U+0307 ◌̇ точка сверху (производная)
  • U+0308 ◌̈ две точки сверху (вторая производная)
  • U+20DB ◌⃛ три точки сверху (третья производная).
  • U+20DC ◌⃜ четыре точки сверху (четвёртая производная).
  • U+030D ◌̍ штрих сверху (интеграл)
  • U+030E ◌̎ два штриха сверху (двойной интеграл)
  • U+25AD белый прямоугольник (интеграл)
  • U+20DE ◌⃞ объемлющий квадрат (интеграл)
  • U+1DE0 ◌ᷠ (n-ая производная)

Нотация Ньютона в основном используется, когда независимой переменной служит время. Если положение y является функцией от времени t, то   обозначает скорость[10], а   обозначает ускорение[11]. Эта нотация популярна в физике и математической физике. Она также появляется в математических областях, связанных с физикой, таких как дифференциальные уравнения. Нотация популярна только для первой и второй производных, но в этих приложениях производные большего порядка и не требуются.

Когда берётся производная зависимой переменной  , существует альтернативная нотация[12]:

 

Ньютон разработал следующие операторы частных производных на основе точки сбоку от изогнутого X (ⵋ). Определения, данные Вайтсайдом следующие[13][14]:

 

Нотация Ньютона для интегрированияПравить

Первая и вторая первообразные x в нотации Ньютона.

Ньютон разработал много различных нотаций для интрегрирования в работе Quadratura curvarum (1704) и более поздних работах[en] — он писал маленькую вертикальную черту или штрих над зависимой переменной ( ), прямоугольник перед переменной ( ) или заключение в прямоугольник (y) для обозначения изменения[en] или интеграла по времени.

 

Для обозначения кратных интегралов Ньютон использовал маленькие вертикальные чёрточки ( ) или комбинацию прешествующих букве символов    для обозначения двойного интеграла по времени.

 

Более высокие интегралы по времени были следующие[15]:

 

Эти математические обозначения не стали общеупотребительными ввиду трудности печати и спора Ньютона и Лейбница о приоритете.

Частные производныеПравить

fxfxy
Функция f, продифференцированная по x, во втором случае — по x и по y.

Когда требуются более специфичные типы дифференцирования, такие как в анализе функций многих переменных или тензорном анализе, общеупотребительны другие нотации.

Для функции f от независимой переменной x мы можем выразить производную с помощью индекса в виде независимой переменной:

 

Этот тип нотации особенно полезен для обозначения частных производных функции многих переменных.

∂f∂x
Производная функции f по x.

Частные производные обычно отличают от обычных производных путём замены оператора дифференцирования d на символ «». Например, мы можем выразить частную производную   по x, но не по y или z несколькими способами:

 

Что делает это отличие в нотации важным, это то, что простая производная (не частная), такая как  , может, в зависимости от контекста, быть интерпретирована как скорость изменения   от  , когда все остальные переменные могут изменяться одновременно, в то время как для частной производной, такой как  , только одна переменная может меняться.

Другие нотации можно найти в различных подобластях математики, физики и технических наук. См., например, соотношения Максвелла термодинамики. Символ   является производной температуры T по объёму V, сохраняя при этом постоянной энтропию (индекс) S, в то время как   является производной температуры по объёму при сохранении постоянным давлении P. Это становится необходимым в ситуациях, когда число переменных превосходит число степеней свободы, так что нужно выбирать, какие переменные необходимо сохранять постоянными.

Частные производные большего порядка по одной переменной выражаются как

 
 

и так далее. Смешанные частные производные можно выразить как

 

В этом последнем случае переменные записаны в обратном порядке для двух нотаций:

 
 

Так называемый мультииндекс используется в ситуациях, когда вышеописанные обозначения становятся громоздкими или недостаточно выразительными. Если рассматривать функции на  , мы определим мультииндекс как упорядоченный список   неотрицательных целых чисел:  . Определим теперь для   нотацию

 

При таком определении некоторые результаты (такие как формула Лейбница), которую другим способом записать трудно, может быть выражена кратко. Некоторые примеры можно найти в статье о мультииндексе[16].

Нотация в векторном анализеПравить

Векторный анализ занимается взятием производной и интегрированием векторного или скалярного поля. Для случая трёхмерного евклидова пространства общеупотребительны некоторые нотации.

Предположим, что   является заданной декартовой системы координат, A является векторным полем с компонентами  , а   является скалярным полем.

Оператор дифференцирования, введённый Уильямом Роуэном Гамильтоном, записываемый как   и называемый набла, определяется в символической форме как вектор,

 

Здесь выражение «в символической форме» отражает факт, что оператор   можно трактовать как обычный вектор.

 
Градиент скалярного поля  .
  • Градиент: Градиент   скалярного поля   является вектором, который символически записывается как умножение   на скаляроное поле  ,
 
 
Дивергенция ыекторного поля A.
 
 
Лапласиан скалярного поля  .
  • Оператор Лапласа: Лапласиан   скалярного поля   есть скаляр, который символически выражается как скалярное умножение   на скалярное поле  ,
 
 
Ротация векторного поля A.
  • Ротация:Ротация  , или  , векторного поля A — это вектор, который символически выражается как векторное произведение   и вектора A,
 

Многие символические операции взятия производный могут быть обобщены простым образом с помощью оператора градиента в декартовых координатах. Например, правило произведения для одной переменной имеет прямой аналог в произведении скалярных полей путём применения оператора градиента

 

Многие другие правила из анализа одной переменной имеют аналоги в векторном анализе для градиента, дивергенции, ротации и лапласиана.

Далее нотация развивалась для более экзотичных видов пространств. Для вычислений в пространстве Минковского, оператор Д’Аламбера, называемый также д’аламберианом или волновым оператором записывается как   или как  , если не образуется конфликт с символом лапласиана.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Nova acta eruditorum : anno ... publicata, ... Año 1749. - Full View | HathiTrust Digital Library. Дата обращения: 30 октября 2021. Архивировано 28 октября 2021 года.
  2. Morris, Stark, 2015.
  3. Osborne, 1908, с. 63—65.
  4. 1 2 3 4 De Morgan, 1842, с. 267—268.
  5. Lagrange, Nouvelle méthode pour résoudre les équations littérales par le moyen des séries (1770), p. 25-26. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PID=PPN308900308%7CLOG_0017&physid=PHYS_0031
  6. The D operator - Differential - Calculus - Maths Reference with Worked Examples. www.codecogs.com. Архивировано 19 января 2016 года.
  7. 1 2 Weisstein, Eric W. "Differential Operator." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy. Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 21 января 2016 года.
  8. Weisstein, Eric W. "Repeated Integral." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy. Дата обращения: 7 февраля 2016. Архивировано 1 февраля 2016 года.
  9. Нотация Ньютона взята из:
    • 1-я — 5-я производные: Quadratura curvarum (Newton, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинале MS: Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 28 февраля 2016 года.).
    • 1-я — 7-я, n-я и (n+1)-я производные: Method of Fluxions (Newton, 1736), стр. 313-318 and p. 265 (p. 163 in original MS: Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 6 апреля 2017 года.)
    • 1-я — 5-я производные: A Treatise of Fluxions (Colin MacLaurin, 1742), p. 613
    • 1-я — 4-я и n-я производные: Статьи "Differential" и "Fluxion" в книге Dictionary of Pure and Mixed Mathematics (Peter Barlow, 1814)
    • 1-я — 4-я, 10-я и n-я производные: Статьи 622, 580 и 579 в книге A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
    • 1-я — 6-я и n-я производные: The Mathematical Papers of Isaac Newton Vol. 7 1691-1695 (D. T. Whiteside, 1976), стр.88 и 17
    • 1-я — 3-я и n-я производные: A History of Analysis (Hans Niels Jahnke, 2000), стр. 84-85
    Точку для n-й производной можно опустить (   )
  10. Weisstein, Eric W. "Overdot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 5 сентября 2015 года.
  11. Weisstein, Eric W. "Double Dot." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 3 марта 2016 года.
  12. Cajori, 1929.
  13. Whiteside, 1961, с. 361—362,378.
  14. С. И. Энгельсман дал более строгие определения Engelsman (2000, p. 223—226)
  15. Нотация Ньютона для интегрирования взята из:
    • 1-й — 3-й интегралы: Quadratura curvarum (Newton, 1704), стр. 7 (стр. 5r в оригинале MS: Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 28 февраля 2016 года.)
    • 1-й — 3-й интегралы: Method of Fluxions (Newton, 1736), стр. 265-266 (стр. 163 в оригинале MS: Archived copy. Дата обращения: 5 февраля 2016. Архивировано 6 апреля 2017 года.)
    • 4-й интеграл: The Doctrine of Fluxions (James Hodgson, 1736), стр. 54 and 72
    • 1-й и 2-й интегралы: Статьи 622 и 365 в A History of Mathematical Notations (F .Cajori, 1929)
    Нотация кратного n-го интеграла выводится из n-й производной. Она, возможно, использовалась в Methodus Incrementorum Directa & Inversa (Brook Taylor, 1715)
  16. Tu, 2011.

ЛитератураПравить

  • Carla C. Morris, Robert M. Stark, 1930-2017. Fundamentals of calculus. — Hoboken, New Jersey, 2015. — ISBN 9781119015314.
  • George A. Osborne. Differential and Integral Calculus. — Boston: D. C. Heath and co., 1908. — С. 63-65.
  • (Augustus De Morgan. The Differential and Integral Calculus. — 1842. — С. 267—268.
  • Dennis G. Zill. глава 1.1 // A First Course in Differential Equations. — Belmont, CA, 2009. — С. 3. — ISBN 978-0-495-10824-5.
  • Florian Cajori. Article 580 // A History of Mathematical Notations. — New York: Dover Publications, Inc., 1929. — ISBN 0-486-67766-4.
  • Loring W. Tu. An introduction to manifolds. — 2. — New York: Springer, 2011. — ISBN 978-1-4419-7400-6.
  • D. T. Whiteside. Patterns of Mathematical Thought in the Later Seventeenth Century // Archive for History of Exact Sciences. — 1961. — Т. 1,. — С. 361—362,378.
  • S.B. Engelsman. Families of Curves and the Origins of Partial Differentiation. — 2000. — С. 223—226.

СсылкаПравить