Нуль функции

Нуль функции в математике — элемент из области определения функции, в котором она принимает нулевое значение. Например, для функции $f$, заданной формулой

Нули косинуса на интервале [-2π,2π] (красные точки)

$f(x)=x^{2}-6x+9\,.$

$x=3$ является нулём, поскольку

$f(3)=3^{2}-6\cdot 3+9=0$.

Понятие нулей функции можно рассматривать для любых функций, область значений которых содержит нуль или нулевой элемент соответствующей алгебраической структуры.

Для функции действительного переменного $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ нулями являются значения, в которых график функции пересекает ось абсцисс.

Нахождение нулей функции часто требует использования численных методов (к примеру, метод Ньютона, градиентные методы).

Одной из нерешённых математических проблем является нахождение нулей дзета-функции Римана.

Корень многочлена

Основная статья: Корень многочлена

Основная теорема алгебры

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен степени n имеет n комплексных корней, с учётом их кратности. У кубического уравнения, как показано выше, всегда три комплексных корня, с учётом кратности. Все мнимые корни многочлена, если они есть, всегда входят сопряжёнными парами, только если все коэффициенты многочлена вещественны. Каждый многочлен нечётной степени с вещественными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень. Связь между корнями многочлена и его коэффициентами устанавливает теорема Виета.

Комплексный анализ

Простой нуль голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb {C}$ функции $f$ — точка $z_{0}\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_{0})g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_{0}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нуль порядка $k$ голоморфной в некоторой области $G\subset \mathbb {C}$ функции $f$ — точка $z_{0}\in G$, в некоторой окрестности которой справедливо представление $f(z)=(z-z_{0})^{k}g(z)$, где $g$ голоморфна в $z_{0}$ и не обращается в этой точке в нуль.

Нули голоморфной функции изолированы.

Другие специфические свойства нулей комплексных функций выражаются в различных теоремах:

• теорема Руше,
• теорема Мардена,
• Теорема Гаусса — Люка

История

Кубические уравнения

Исторически к появлению понятия мнимых чисел привело решение уравнений 3-й степени с тремя разными действительными корнями. По формуле Кардано все три корня $x$ уравнения $x^{3}+kx+l=0$ равны

$\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C+{\frac {-k}{3}}\left[\left({\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)^{n}C\right]^{-1},$

где $C^{3}={\tfrac {-l}{2}}\pm {\sqrt {{\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}}}$ (на месте плюс-минуса подходят оба знака, если только C не обращается в 0), $n\in \{0,1,2\},$ а ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}$ — это все возможные комплексные корни 3-й степени из 1, а именно $1$ и ${\tfrac {-1\pm i{\sqrt {3}}}{2}}.$

• Если число ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ под квадратным корнем меньше нуля, а k и l вещественны, то ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ и ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$ — невещественные сопряжённые числа, а значит, при их сложении получатся три разных вещественных корня кубического уравнения.
• Если ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ равняется нулю, то кубическое уравнение имеет один трёхкратный корень или два различных корня, один из которых двукратен.
• Если же ${\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}}$ больше нуля, а k и l действительны, то одно из чисел ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ является действительным, однако ${\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C$ и ${\tfrac {-k}{3}}\left({\tfrac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}^{n}C\right)^{-1}$ уже не сопряжены: у них разные модули, — и в итоге у кубического уравнения только один вещественный корень, а остальные два — нет.

$-108({\tfrac {l^{2}}{4}}+{\tfrac {k^{3}}{27}})$ — это дискриминант уравнения $x^{3}+kx+l=0,$ знак которого как раз определяет вещественность и кратность корней.

На первый взгляд, в 1-м и 3-м пунктах изложены парадоксальные случаи. Эта странность была разрешена и обоснована Рафаэлем Бомбелли и позволила ему полноценно легализовать мнимые числа, а также отрицательные числа, которые до него в Европе не были признаны.

Литература

• Нуль функции — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Weisstein, Eric W. Root (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.